Équation diophantienne du premier degré

Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Comme d’autres résultats d’arithmétique ou de théorie des nombres, sous la façade simpliste des équations diophantiennes se cachent des résultats d’une étonnante complexité.

Carl Friedrich Gauss, le prince des mathématiciens, disait, à propos :

« Leur charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »

C’est tout dire ! Cela explique peut-être, mais c’est dommage, pourquoi nous n’étudions pas ce genre d’équations au secondaire ni au cégep (si ma mémoire est bonne). Rappelons seulement, avant de commencer, deux choses :  tout entier peut être décomposé en un produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique. Ensuite, si\[ab=cd\]et que \(a\) et \(c\) sont premiers entre eux (en d’autres mots, le pgcd de \(a\) et de \(c\) est \(1\)), alors \(a\) divise \(d\) et \(c\) divise \(b\). Par exemple, avec \[a=2, \ b=15, \ c=5, \ d=6\]on a bien \[\text{pgcd}(2, \ 5) = 1\]et on obtient\[2\cdot15=5\cdot 6\]Or \(2\) divise bien \(6\) et \(5\) divise bien \(15\). Nous allons considérer l’équation du premier degré suivante\[ax + by =c\]dans laquelle \(a\), \(b\) et \(c\) sont des entiers. On cherche toutes les solutions \(x\) et \(y\) entières. Une première chose nous apparait évidente : si \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux, autrement dit, si le pgcd de \(a\) et de \(b\) est autre chose que \(1\), alors ce pgcd doit diviser \(c\), sans quoi on ne trouvera pas de solution. Par exemple, l’équation\[3x + 15y = 23\]n’admet pas de solution entière, puisque\[\text{pgcd}(3,\ 15) = 3\]et donc \[3(x + 5y) = 23\]mais \(23\) n’est pas divisible par \(3\). Par contre, l’équation \[3x + 15 = 21\]admet des solutions entières, puisque \(21\) est divisible par \(3\). On peut alors se ramener à l’équation plus simple\[x + 5y = 7\]en divisant chaque côté par \(3\). On trouve une solution assez triviale\[x=2, \ y = 1\]mais il en existe bien d’autres.  On suppose donc que \(a\) et \(b\) soient premiers entre eux dans\[ax + by = c\]On peut alors trouver un couple solution, appelons le \[(x_{0}, \ y_{0})\]tel que \[ax_{0} + by_{0} = c\]On soustrait la deuxième équation de la première\[ax-ax_{0} + bx-bx_{0} = c-c\]ce qui fait, après les mises en évidence \[a\left(x-x_{0}\right) + b\left(y-y_{0}\right) = 0\]On obtient par la suite\[a\left(x-x_{0}\right) =-b\left(y-y_{0}\right)\]ou\[a\left(x-x_{0}\right)=b\left(y_{0}-y\right)\]Comme \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, \(a\) doit diviser \(y_{0}-y\).  On peut donc trouver un entier \(k\) tel que\[ak = y_{0}-y\]Et pour la même raison \(b\) doit diviser \(x-x_{0}\).  On trouve donc un entier \(k’\) tel que \[bk’ = x-x_{0}\]En remplaçant \(y_{0}-y\) et \(x-x_{0}\) dans l’équation précédente, on obtient\[abk’ = bak\]En divisant par \(ab\) de chaque côté, on a \[k’ = k\]Bien ! En posant \[k=k’=n\]on trouve\begin{align*}bn&=x-x_{0} \\\ \\ an&=y_{0}-y\end{align*}et en isolant les variables considérées \begin{align*}x&=x_{0} + bn \\ \\ y&=y_{0} – an\end{align*}on a enfin des expressions qui expriment l’infinité de solutions entières en fonction de \(n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\). En reprenant notre exemple, \[x + 5y = 7\]pour lequel on avait déjà trouvé une solution, on a \[a = 1,\ b=5,\ x_{0}=2,\ y_{0}=5\]On peut donc exprimer l’infinité de solutions comme\begin{align*}x&=2+5n \\ \\ y&=1-n\end{align*}avec \(n \in \mathbb{Z}\). Essayez ! Ça fonctionne !  Je vous conseille d’entrer quelques expressions dans Wolframalpha (c’est ce qui a piqué ma curiosité).  Lorsque des solutions entières existent, Wolframalpha fournit les équations qui les génèrent.

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