Formule d’aire curieuse

Le problème était le suivant :

Trouvez l’aire du triangle rectangle ci-dessus (le cercle est inscrit)

thedudeminds_2013120501

La démarche attendue était à peu près celle-ci. Comme les tangentes à un cercle issues d’un même point sont de même longueur, on trouvethedudeminds_2013120502

ce qui nous permet d’établir une équation avec Pythagore.\[\left(z + 35\right)^{2} + \left(z + 18\right)^{2}=\left(35 + 18\right)^{2}\]En développant on obtient\[z^{2} + 70z + 1\,225 + z^{2} + 36z + 324 = 2\,809\]puis en regroupant les termes semblables\[2z^{2} + 106z-1\,260=0\]et enfin en divisant par 2, on trouve un trinôme du deuxième degré\[z^{2}+53z-630=0\]qui, ô joie, se factorise assez facilement\[\left(z-10\right)\left(z+63\right)=0\]La seule solution sensée pour notre problème est donc\[z=10\]et l’aire du triangle rectangle doit être\[A_{\text{triangle}} = \frac{\left(35 + 10\right)\left(18+10\right)}{2}=\frac{45\cdot28}{2} = 630\]Hummmm ! Or, \[35 \times 18 = 630\]Hasard ? Oh ! Je ne pense pas ! Il suffit de construire un rectangle à l’aide d’un deuxième triangle isométrique au premier (il existe des preuves algébriques assez simple mais on préfère la très élégante preuve géométrique suivante)

thedudeminds_2013120512et de réarranger un triangle vert et un triangle rouge de manière à obtenir un rectangle équivalent au triangle initial,thedudeminds_2013120513un rectangle d’aire \(xy\). Ainsi, l’aire d’un triangle rectangle est égal au produit \(xy\) des longueurs des segments déterminés sur l’hypoténuse par le point de tangence au cercle inscrit.thedudeminds_2013120518

Comment construire d’autres exemples (avec des nombres entiers) ? L’exemple du début de l’article était-il difficile à construire, était-il rare ? La réponse est non. On sait comment générer des triplets pythagoriciens, et, sans devoir s’en tenir aux triplets primitifs, il suffit de choisir \(a>b\) entiers et poser\begin{align*}x+z&=a^{2}-b^{2}\\ \\ y+z&=2ab \\ \\ x+y&=a^{2}+b^{2}\end{align*}En soustrayant la deuxième équation à la première on obtient\[x-y=a^{2}-2ab-b^{2}\]et en additionnant cette dernière équation à la troisième on obtient\[2x=2a^{2}-2ab\]ou\[x=a^{2}-ab\]Cette expression pour \(x\) nous permet de trouver l’expression pour \(y\) \[y=b^{2}+ab\]et pour \(z\) \[z=ab-b^{2}\]L’exemple du début de l’article a donc été construit en choisissant \(a=7\) et \(b=2\).

Référence : Claudi Alsina et Roger B. Nelsen (2013), Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics

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