Tout le monde n’a pas la chance que j’ai d’avoir un collègue aussi extraordinaire. Un collègue qui vous surprend toujours avec des trucs curieux et formidables. La semaine passée, Monsieur C. me dit sur l’heure du dîner :
Je suis tombé sur quelque chose de vraiment formidable. Choisis un grand nombre premier ( “grand nombre premier” voulant dire plus grand que 3). Élève le au carré. Ajoute 11. Le reste de la division par 24 est 12. Pourquoi ça fonctionne ?
13 est un nombre premier.
13 au carré donne 169.
169 + 11 = 180
Et 180 divisé par 24 donne 7 reste 12. Ah !
Pourquoi en effet. Si vous êtes comme moi, vous arrêterez de lire ce billet et vous passerez une bonne partie de l’après-midi à plancher sur ce problème. Sinon, rappelez vous que…
tous les nombres entiers positifs peuvent s’exprimer sous l’une ou l’autre de ces formes
6n est divisible par 6. 6n ne peut donc par représenter un nombre premier. 6n + 2 est divisible par 2. 6n + 2 ne peut donc pas représenter un nombre premier. Pas plus que 6n + 4, lui aussi divisible par 2. 6n + 3, quant à lui, est divisible par 3 et ne peut pas plus que les trois autres représenter un nombre premier. Reste 6n + 1 et 6n + 5. Tous les nombres premiers plus grands que 3 sont donc de la forme 6n + 1 ou 6n + 5.
Considérons un de ces grands nombres premiers p.
Le texte nous dit ceci :
où
En soustrayant 12 de chaque côté, on obtient
Il suffit de montrer que
est divisible par 24. Mince affaire ! En factorisant la différence de carrés, on obtient
Comme p est un nombre premier plus grand que 3, il est donc impair. p – 1 et p + 1, les entiers immédiatement inférieur et immédiatement supérieur, sont donc pairs. Le membre de gauche est donc divisible par 4. Mais cela n’explique pas pourquoi il serait simultanément divisible par 6… et donc par 24.
Nous avons donc deux choix : si p est de la forme
on obtient
et donc
Si n est pair, on peut l’exprimer de cette façon
avec
En remplaçant danson obtient
ce qui fait
En mettant en évidence 2 dans la parenthèse
on obtient
Et voilà ! Le membre de gauche est divisible par 24
Si, par ailleurs, n est impair, on peut l’exprimer de cette façon
avec
Et en remplaçant dans
on obtient
ce qui fait en distribuant
et en simplifiant
En effectuant la mise en évidence de 4 dans la parenthèse, on obtient
et donc
Le membre de gauche est divisible par 24 !
Il suffit de procéder de la même façon avec
en considérant les i pairs et impairs afin de couvrir tous les cas possibles. Il est d’ailleurs assez facile de voir que cela fonctionnera sans problème puis que
est équivalent à
pour les valeurs de n immédiatement supérieures.