Fin d’étape oblige…

Nous sommes en fin d’étape.  Beaucoup de correction.  Beaucoup de travail fastidieux.  Et trop peu de temps pour écrire sur ce blog (alors que j’ai plein d’idées, quel calvaire !)  Bref, je vous reviens en pleine forme dès la semaine prochaine (ou avant).

En attendant, je vous suggère ce film mathématique en neuf parties, très bien fait et en français !

Dimension Mathématiques

De retour à la pile d’examens…

Valeurs exactes

Grâce à la relation de Pythagore et à quelques triangles rectangles bien choisis, il est facile de calculer les valeurs exactes de certains rapports trigonométriques.  Les classiques \[\sin(30^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\]ou \[\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]ou encore \[\sin(60^{\circ}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]peuvent être trouvés de cette façon.  Puis, avec les formules d’addition d’angles et d’angles doubles, on peut trouver d’autres valeurs exactes.   Par exemple, en se rappelant que \[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\]on peut trouver \[\sin(30^{\circ} + 45^{\circ})=\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})\]Et en remplaçant par ce qui est connu, on obtient \[\sin(75^{\circ}) = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]ce qui fait \[\sin(75^{\circ})= \frac{\sqrt{2}}{4}+ \frac{\sqrt{6}}{4}\]ou si on préfère \begin{align*}\sin(75^{\circ}) &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ \\ &=\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{3}\right)}{4}\end{align*}Ou bien, en se rappelant que \[\cos(2\alpha) = 2\cos^{2}(\alpha)-1\]on trouve \[\cos(2\cdot 15^{\circ}) = 2\cos^{2}(15^{\circ})-1\]ce qui fait \[\cos(30^{\circ}) = 2\cos^{2}(15^{\circ})-1\]En remplaçant la valeur du cosinus connue, on obtient \[\frac{\sqrt{3}}{2}=2\cos^{2}(15^{\circ})-1\]On additionne \(1\) de chaque côté \[\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 2\cos^{2}(15^{\circ})\]ce qui fait \[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2}=2\cos^{2}(15^{\circ})\]et donc \[\frac{\sqrt{3}+2}{2}= 2\cos^{2}(15^{\circ})\]Puis en divisant chaque côté de l’équation par \(2\) \[\frac{\sqrt{3}+2}{4} = \cos^{2}(15^{\circ})\]Il suffit enfin d’extraire la racine carrée de chaque côté de l’équation (on note que \(\cos(15^{\circ})\) est positif) \[\sqrt{\frac{\sqrt{3}+2}{4}} = \cos(15^{\circ})\]ce qui fait \[\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{\sqrt{4}} = \cos(15^{\circ})\]et donc plus simplement \[\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2} = \cos(15^{\circ})\]Et comme \[\sin(75^{\circ})=\cos(15^{\circ})\]on obtient ce joli résultat \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{\sqrt{3}+2}}{4}\] \[\sqrt{6} +\sqrt{2}= 2\sqrt{\sqrt{3}+2}\]

Bon.  Tout cela reste cependant bien peu spectaculaire.  Voici un résultat différent qui, en général, ne manque pas d’impressionner les étudiants.  Trouvons la valeur exacte de \(\cos(36^{\circ})\). Exit les triangles rectangles.  Nous allons considérer le triangle isocèle suivantOn appelle ce triangle le triangle d’or.  Si on trace la bissectrice d’un des angles de \(72^{\circ}\), on obtient un nouveau triangle isocèle semblable au premier (cas de similitude AA).  On peut répéter le processus indéfiniment.  Ceux qui connaissent le rectangle d’or y voient l’analogie.

Traçons, justement, une de ces bissectrices.  On obtient

Le triangle \(ABD\) est semblable au triangle \(ABC\) par AA.  Le triangle \(ABD\) est isocèle.  Si \(\overline{AB}\) mesure \(y\), alors \(\overline{AD}\) aussi puisque ce sont les côtés isométriques du triangle isocèle.  Mais il y a en un troisième, triangle isocèle, bien qu’il ne soit pas semblable aux deux autres.  C’est le triangle \(ADC\) (observez la paire d’angles de \(36^{\circ}\)).  On trouve ainsi que la mesure de \(\overline{DC}\) est aussi égale à \(y\).  En posant la mesure de \(\overline{BD}\) égale à \(x\), on trouve que la mesure de \(\overline{BC}\) (et donc aussi de \(\overline{AC}\)) est égale à \(x+y\).  On peut établir la proportion suivante en associant correctement les côtés homologues dans les deux triangles semblables \[\frac{m\overline{BD}}{m\overline{AB}} = \frac{m\overline{AB}}{m\overline{BC}}\] ou plus simplement \[\frac{x}{y} = \frac{y}{x+y}\]En effectuant le produit croisé, on obtient \[x^{2}+xy = y^{2}\]On divise ensuite chaque côté par \(x^{2}\) \[\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{xy}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}\]ce qui fait \[1 + \frac{y}{x} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2}\]On obtient ainsi un polynôme du deuxième degré en \(\frac{y}{x}\) \[\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-\frac{y}{x}-1=0\]Avec la formule quadratique, on trouve \[\frac{y}{x}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}\]Comme \(\frac{y}{x}\) est un rapport de mesures positives, on ne retient que la valeur positive pour \(\frac{y}{x}\) \[\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{1+4}}{2}\]ce qui fait \[\frac{y}{x}= \frac{1+\sqrt{5}}{2}\]On reconnait d’ailleurs le nombre d’or.  Pour des raisons à ce moment loin d’être apparentes, on fait deux choses : d’abord on inverse et puis on élève au carré.  On obtient dans un premier temps \[\frac{x}{y} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}\]En rationalisant le dénominateur on obtient \begin{align*}\frac{x}{y}&=\frac{2}{1+\sqrt{5}} \\ \\ &=\frac{2}{1+\sqrt{5}} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} \\ \\ &= \frac{2\left(1-\sqrt{5}\right)}{-4}\end{align*}ce qui fait en simplifiant le dénominateur \[\frac{x}{y} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]Sitôt ce résultat obtenu, on élève au carré \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\]ce qui est équivalent à \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\frac{\left(-1+\sqrt{5}\right)^{2}}{2^{2}}\]En développant \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}= \frac{1-2\sqrt{5}+5}{4}\]et en regroupant les termes semblables \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}= \frac{6-2\sqrt{5}}{4}\]Finalement, en simplifiant la fraction, on obtient \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\]Considérons maintenant l’angle BAD de 36° dans le triangle BAD.  En utilisant la loi des cosinus, on peut écrire \[x^{2}=y^{2}+y^{2}-2\cdot y\cdot y \cdot \cos(36^{\circ})\]En simplifiant le membre de droite on obtient \[x^{2}=2y^{2}-2y^{2}\cos(36^{\circ})\]On effectue d’abord la mise en évidence du carré de \(y\) à droite \[x^{2}=y^{2}\left(2-2\cos(36^{\circ})\right)\]puis on divise chaque côté par ce même carré de \(y^{2}\) \[\frac{x^{2}}{y^{2}}=2-2\cos(36^{\circ})\]Il nous suffit donc d’écrire \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=2-2\cos(36^{\circ})\]pour comprendre la peine qu’on s’était donnée pour trouver \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\]On obtient donc \[\frac{3-\sqrt{5}}{2}=2-2\cos(36^{\circ})\]Il suffit maintenant d’isoler sans trop de mal le cosinus.  On divise chaque côté par \(2\) \[\frac{3-\sqrt{5}}{4}=1-1\cos(36^{\circ})\]On soustrait ensuite \(1\) de chaque côté \[\frac{3-\sqrt{5}}{4}-1=-\cos(36^{\circ})\]ce qui fait \[\frac{3-\sqrt{5}}{4}-\frac{4}{4} = -\cos(36^{\circ})\]et donc en effectuant la soustraction \[\frac{-1-\sqrt{5}}{4} = -\cos(36^{\circ})\]On multiplie enfin chaque côté de l’égalité par \(-1\) \[\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\cos(36^{\circ})\]Voilà ! La valeur exacte du cosinus de \(36^{\circ}\).

Le volume de la pyramide expliqué aux enfants

Bien embêté est celui qui veut convaincre un jeune de troisième secondaire que le volume d’une pyramide est égal au tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur, sans recourir à quelconque artifice des mathématiques supérieures.  Quand je demande aux élèves « pourquoi est-ce ainsi ? », ils me répondent unanimement qu’ils ont vu leur enseignant, armé de ces solides creux de plastique et d’un verre d’eau, remplir le prisme d’eau avec le contenu de trois pyramides.  Voilà ! Ça rentre trois fois !  Ils sont convaincus.  Comment leur faire part, alors, que la réalisation de cette expérience est possible parce que le volume de la pyramide de même base et de même hauteur est le tiers de celui du prisme et non l’inverse !  Distinction importante, confusion inévitable.

Bon voici.  On a seulement besoin d’un petit résultat préliminaire, déjà examiné dans ce billet : la somme des \(n\) premiers carrés.  La sommes des \(n\) premiers carrés est : \[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]Commençons.  Nous allons construire une pyramide un peu approximative, un peu grossière, comme si elle était faite de blocs.  Le premier étage est composé d’un seul bloc, dont on fixera, pour les besoins de la cause, les dimensions à \(a\times a\times b\).  Le deuxième étage est composé de quatre blocs isométriques.  Le troisième étage de neuf de ces blocs isométriques.  Et ainsi de suite…

Notre « pyramide » possède \(n\) étages comme dans le schéma suivant

La volume de la « pyramide » sera donc égal à la somme des volumes des étages.  On obtient \[V_{p} = a^{2}b+4a^{2}b+9a^{2}b+\dots +n^{2}a^{2}b\]En mettant \(a^{2}b\) en évidence, on obtient \[V_{p}=a^{2}b\left(1+4+9+\dots+n^{2}\right)\]On reconnait immédiatement la somme des \(n\) premiers carrés dans la parenthèse.  On peut donc réécrire la dernière formule comme \[V_{p}=a^{2}b\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\]que l’on développe pour obtenir \[V_{p}=a^{2}b\left(\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}\right)\]Pour des raisons encore obscures, mais qui deviendront rapidement apparentes, on décide me mettre en évidence le cube de \(n\) dans la parenthèse \[V_{p}=a^{2}b\cdot n^{3}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{6}\right)\]On trouve d’abord que la hauteur de la « pyramide » est égale à \(n\) fois (il y a, après tout, \(n\) étages) la hauteur \(b\) du prisme à base carré. Si \(h\) est la hauteur de la « pyramide », alors on a \[h=bn\]On trouve ensuite une expression pour l’aire de la base de la « pyramide ».  En effet, au énième et ultime étage, il y a \(n^{2}\) petits carrés d’aire \(a^{2}\)  .  Si \(A_{b}\) est l’aire de la base de la « pyramide », alors on a \[A_{b} = a^{2}n^{2}\]Le besoin de mettre le cube de \(n\) en évidence est maintenant clair, on peut réécrire \[V_{p} = a^{2}b \cdot n^{3}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{6}\right)\]comme \[V_{p}=\left(a^{2}n^{2}\right)\left(bn\right)\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{6}\right)\]ce qui est équivalent à \[V_{p}= A_{b}\cdot h\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{6}\right)\]La clé du raisonnement est ici.  En fixant l’aire de la base et la hauteur, et mais en augmentant le nombre d’étages \(n\), on obtient un solide qui s’apparente de plus en plus à la pyramide recherchée.  Si \(n\) augmente, alors \(a^{2}\) (et donc \(a\)) diminue dans \[A_{b} = a^{2}n^{2}\]En d’autres mots, le sommet de la “pyramide” devient de plus en plus pointu.  Si bien qu’en faisant tendre \(n\) vers l’infini, \(a^{2}\) (et donc aussi \(a\)) tend vers zéro.  D’autre part, si \(n\) augmente, \(b\) diminue dans \[h=bn\]En d’autres mots, les faces de la « pyramide » deviennent de plus en plus « lisses » : les marches plus nombreuses, mais les contre-marches plus petites.  Si bien qu’en faisant tendre \(n\) vers l’infini, \(b\) tend vers zéro.  En faisant tendre \(n\) vers l’infini, on obtient notre pyramide !  Dans la formule, les termes \[\frac{1}{n} \quad \text{et} \quad \frac{1}{n^{2}}\]tendent alors tous les deux vers zéro lorsque \(n\) tend vers l’infini.  On obtient donc \[V_{p} = A_{b}\cdot h\left(2+0+0\right)\left(\frac{1}{6}\right)\]ce qui fait\[V_{p}=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\]La fameuse formule recherchée !