Exercice de géométrie analytique

Le théorème de Von Aubel

Dans un quadrilatère quelconque, on construit quatre carrés extérieurs aux quatre côtés du quadrilatère.  Le théorème de Von Aubel nous dit que les segments qui joignent les centres des carrés opposés sont de même longueur et se croisent perpendiculairement.

Dans la figure suivante, quatre carrés dont les centres sont \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\) et \(P_{4}\) sont construits sur les côtés du quadrilatère \(ABCD\).

Selon le théorème, on a donc \[m\overline{P_{1}P_{3}} = m\overline{P_{2}P_{4}}\]et \[P_{1}P_{3}\perp P_{2}P_{4}\]Je vous conseille d’ouvrir la figure dynamique ici.  Notez que le quadrilatère peut être concave et même croisé.

Le théorème de Von Aubel est souvent abordé comme un exercice dans le plan complexe.  Il peut aussi être vu beaucoup plus tôt avec pour seuls outils quelques notions de géométrie analytique.

Considérons dans un premier temps le carré \(RSTU\) suivant

dans lequel les coordonnées de \(R\) et \(S\) sont respectivement \((x_{1},\, y_{1})\) et \((x_{2},\, y_{2})\).

On exprime d’abord les coordonnées de \(T\) en fonction des coordonnées de \(R\) et \(S\).

Les coordonnées de \(T\) sont donc \[T(x_{2}+y_{1}-y_{2},\, y_{2}+x_{2}-x_{1})\]Par la suite, on détermine les coordonnées du point milieu de la diagonale (le point \(M\) sur l’illustration).

Les coordonnées de \(M\) sont \[M\left(\frac{x_{1}+x_{2}+y_{1}-y_{2}}{2},\, \frac{y_{1}+y_{2}+x_{2}-x_{1}}{2}\right)\]Considérons le quadrilatère \(ABCD\) suivant et construisons les carrés de centre \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\) et \(P_{4}\) sur les côtés extérieurs du quadrilatère.

En posant les coordonnées \[A(a, \, b), \, B(c,\, d),\, C(e,\, f), \, D(g, h)\]on peut exprimer les coordonnées de \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\) et \(P_{4}\) : \begin{align*}&P_{1}\left(\frac{a+b+c-d}{2}, \, \frac{b+c+d-a}{2}\right) \\ \\ &P_{2}\left(\frac{c+d+e-f}{2},\, \frac{d+e+f-c}{2}\right) \\ \\ &P_{3}\left(\frac{e+f+g-h}{2},\, \frac{f+g+h-e}{2}\right) \\ \\ &P_{4}\left(\frac{g+h+a-b}{2},\, \frac{h+a+b-g}{2}\right)\end{align*}Il nous est possible de calculer la pente de \(P_{1}P_{3}\) :\[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{\cfrac{b+c+d-a}{2}-\cfrac{f+g+h-e}{2}}{\cfrac{a+b+c-d}{2}-\cfrac{e+f+g-h}{2}}\]ce qui fait en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(2\) \[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{b+c+d-a-f-g-h+e}{a+b+c-d-e-f-g+h}\]ou \[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{a+b+c+h-(d+e+f+g)}\]On calcule par la suite la pente de \(P_{2}P_{4}\) \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{\cfrac{d+e+f-c}{2}-\cfrac{h+a+b-g}{2}}{\cfrac{c+d+e-f}{2}-\cfrac{g+h+a-b}{2}}\]ce qui fait encore une fois \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{d+e+f-c-h-a-b+g}{c+d+e-f-g-h-a+b}\]et donc \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{d+e+f+g-(a+b+c+h)}{b+c+d+e-(a+f+g+h)}\]Cette fois-ci on met en évidence un facteur \((-1)\) au numérateur \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{(-1)(a+b+c+h-(d+e+f+g))}{b+c+d+e-(a+f+g+h)}\]ce qui donne en réécrivant \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = (-1) \cdot \frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{b+c+d+e-(a+f+g+h)}\]c’est à dire l’opposé de l’inverse de ce que l’on avait obtenu pour la pente de \(P_{1}P_{3}\) \[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{a+b+c+h-(d+e+f+g)}\]Et des droites dont les pentes sont l’opposé de l’inverse l’une de l’autre sont perpendiculaires !

Pour ce qui est des mesures des segments.  Il nous est possible d’exprimer la mesure du segment \(P_{1}P_{3}\) \[m\overline{P_{1}P_{3}} = \sqrt{\left(\frac{a+b+c-d}{2}-\frac{e+f+g-h}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+c+d-a}{2}-\frac{f+g+h-e}{2}\right)^{2}}\]ce qui fait \[m\overline{P_{1}P_{3}} = \sqrt{\left(\frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}}\]Il serait possible de simplifier davantage l’expression précédente mais cela ne nous sera pas nécessaire.  De la même manière, on exprime ensuite la mesure du segment \(P_{2}P_{4}\) \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{c+d+e-f}{2}-\frac{g+h+a-b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{d+e+f-c}{2}-\frac{h+a+b-g}{2}\right)^{2}}\]ce qui fait \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}+\left(\frac{d+e+f+g-(a+b+c+h)}{2}\right)^{2}}\]Et comme on l’avait fait précédemment, on met en évidence un facteur \((-1)\) au numérateur de la deuxième fraction \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2} + \left((-1)\cdot \frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}}\]Le carré d’un produit étant égal au produit des carrés on obtient \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}+(-1)^{2}\left(\frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}}\]et enfin comme \((-1)^{2}\) est tout simplement égal à \(1\), on a \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}}\]c’est-à-dire \[m\overline{P_{1}P_{3}} = m\overline{P_{2}P_{4}}\]Voilà !

Découpage

Voici une solution simple et élégante au problème difficile suivant : découpez un carré en triangles acutangles.  Si vous n’aviez jamais rencontré ce problème, je vous conseille de chercher un peu par vous-même ! C’est plus difficile que ça en a l’air !  Commencez peut-être par chercher une solution à 14 triangles ou plus.

La solution suivante vient de David Eppstein et elle ne comporte que 8 triangles (pourrait-on trouver une solution comportant moins de 8 triangles ?)

Considérons le carré ABCD.  Identifiez les points milieux E de AD, G de CD, F de BC et J de AB.  Identifiez aussi les points milieux H de DG et I de CG.  Tracez ensuite les cercles de centre E et de rayon AE, de centre F et de rayon BF, de centre H et de rayon DH et de centre I et de rayon CI.  Tel qu’illustré ci-dessous, considérez un point K dans la zone exclue des quatre cercles.  Considérez aussi un deuxième point L dans cette même zone, de l’autre côté de GJ que K, et de telle sorte que le segment KL soit parallèle à DC.

 

Puisque le point K est à l’extérieur des cercles, cela nous assure que les angles DKG ou DKA sont aigu (par exemple, et la même chose s’applique au point L).  La solution est donc composée des triangles suivants, qui sont tous définitivement acutangles !

 

Le polynôme du diable !

\[p(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+ \ \dots \ + a_{1}x + a_{0}\]Demandez à votre collègue d’écrire discrètement sur un bout de papier un polynôme en \(x\) tel qu’il le souhaite, c’est-à-dire du degré qu’il souhaite avec les coefficients qu’il souhaite.  Seule restriction : les coefficients doivent être des entiers positifs (le zéro est inclus).  Ne regardez pas ce qu’il écrit.  Demandez lui ensuite ces deux toutes petites questions et dites-lui que vous allez deviner son polynôme :

Quelle est la valeur de \(p(1)\) ?

Et lorsqu’il vous aura répondu…

Quelle est est la valeur de \(p\big(p(1) + 1\big)\) ?

Écrivez ensuite le nombre \(p\big(p(1) + 1\big)\) en base \(p(1) + 1\).  Et découvrez le polynôme inconnu de votre collègue.  Il sera certainement confondu.

Exemple ? Considérons le polynôme « inconnu » à coefficients positifs suivant : \[p(x) = 3x^{5} + 2x^{4}+5x^{2}+x+9\]On ne dispose que de \[p(1) = 20\]et ensuite de \[p(21) = 12\,643\,500\]Il s’en suit après quelques calculs élémentaires que \[12\,643\,500 = 3\times21^{5}+2\times 21^{4}+ 0\times 21^{3} + 5\times 21^{2} + 1\times 21^{1} + 9\times 21^{0} = 320\,519_{21}\]et on peut recomposer le polynôme inconnu.  Personnellement, je suis tombé en bas de ma chaise.

Référence : http://easyquestion.net/thinkagain/2011/03/14/call-my-bluff/