Les probabilités sont riches en résultats mystifiants et contre-intuitifs.  Et tous ces résultats sont à notre portée, tels quels, sans artifice.  Imaginez alors lorsqu’on “arrange” les nombres dans un problème de probabilités (comme, en deuxième secondaire, lorsqu’on demande aux élèves de calculer l’aire et la circonférence d’un cercle de rayon 2 et qu’ils obtiennent, incrédules, le même nombre) cela peut devenir particulièrement troublant pour l’esprit.

Exemple.

On lance un dé régulier à six faces 11 fois.  Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 exactement une fois dans cette séquence de 11 lancers ?

À chaque lancer, la probabilité d’obtenir un 6 est évidemment 1/6.  À chaque lancer, la probabilité d’obtenir autre chose qu’un 6, soit un 1, 2, 3, 4 ou 5, est 5/6. Il faut obtenir une fois un six et dix fois autre chose.   Il y a 11 façons différentes d’obtenir un et un seul 6 (et dix fois autre chose) dans cette séquence.  Les 11 séquences possibles sont les suivantes :

ABBBBBBBBBB    BABBBBBBBBB    BBABBBBBBBB

BBBABBBBBBB    BBBBABBBBBB   BBBBBABBBBB

BBBBBBABBBB   BBBBBBBABBB    BBBBBBBBABB

BBBBBBBBBAB   BBBBBBBBBBA

A est correspond à {Obtenir un 6} et B correspond à {Obtenir autre chose qu’un 6}.

Les mathématiciens possèdent un outil, le coefficient binomial, qui leur permet d’obtenir ce résultat sans dénombrer tous les résultats possibles.  Ils savent qu’il y a 11 façons d’obtenir un six parmi 11 lancers puisque

La probabilité d’obtenir exactement un six est donc

Donc un peu moins de 30%.  Soit.

On lance un dé régulier à six faces 11 fois.  Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 exactement deux fois dans cette séquence de 11 lancers ?

La probabilité d’obtenir deux six est sûrement moindre.  Plus on doit obtenir de 6, moins la probabilité est grande : comme preuve, la probabilité d’obtenir onze 6 est minuscule  (c’est 0,000000002756) !  Enfin…  La probabilité d’obtenir un 6 à chaque lancer n’a pas changée : c’est 1/6.  La probabilité d’obtenir autre chose qu’un 6, à chaque lancer, elle aussi n’a pas changée : c’est 5/6.  Il faut obtenir deux fois un 6 et neuf fois autre chose dans cette séquence.  Il y a aussi

séquences différentes possibles qui nous permettent d’obtenir deux six parmi 11 lancers.  Les voici :

A est correspond à {Obtenir un 6} et B correspond à {Obtenir autre chose qu’un 6}.

La probabilité d’obtenir exactement deux 6 dans cette séquence est donc

La probabilité d’obtenir un 6 est égale à la probabilité d’obtenir deux 6, soit un peu moins de 30%.  Hummmm…