Author: The Dude

Un ancien élève m’a demandé pourquoi sur sa calculatrice, peu importe le nombre qu’il entre, s’il appuie une nombre suffisant de fois sur la touche racine carrée, il finit toujours par obtenir \(1\). Cette publication lui est adressée et fait suite à notre discussion.

Je lui ai d’abord fait remarquer que s’il entre \(0\) comme nombre de départ, il obtiendra \(0\) en appuyant sur la racine carrée (autant de fois qu’il le désire) et non \(1\). Et s’il entre un nombre négatif…

Cela étant dit, si on restreint notre choix de nombre de départ aux nombres strictement positifs, il est vrai qu’on se rapproche aussi près de \(1\) que voulu.

Déplacez le point bleu afin de choisir le nombre de départ.

Une discussion pertinente sur le nombre de chiffres retenus en mémoire par la calculatrice (qui est généralement différent du nombre de chiffres affichés par l’écran de la calculatrice) et la précision des calculs faits par celle-ci s’en est suivie. La calculatrice affiche \(1\) après un certain nombre d’étapes, car elle n’a pas en mémoire une précision arbitraire de chiffres après la virgule : en réalité, on n’atteint pas \(1\), on ne fait que s’en approcher. Ainsi, après de nombreuses étapes, la différence entre la vraie valeur et \(1\) est si petite que la calculatrice n’y voit que du feu : elle affiche \(1\). Grâce à une petite série de calculs simples, nous avons découvert que la calculatrice de l’élève affiche \(10\) chiffres mais semble en garder en mémoire \(12\).

En étudiant séparément les cas où \(0<x<1\) et \(1<x\) et on considérant l’effet de la racine carrée sur \(x\), on arrive à se convaincre intuitivement. Cela dit j’étais un peu embêté d’en discuter sur le champs avec l’élève avec un peu plus de rigueur. Voici peut-être deux approches un peu plus rigoureuses qui ont un certain mérite, sans toutefois tomber dans des considérations pointues de continuité qui seraient considérées dans un cours d’analyse.

La racine carrée comme exposant

Puisque \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), on peut poser \[f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\] puis \begin{align*}f_{(2)}(x) &= \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 2}}}\end{align*}  \begin{align*}f_{(3)}(x) &= \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = \left(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 3}}}\end{align*} et plus généralement \begin{align*}f_{(n)}(x) &= \underset{n\text{ racines}}{\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\dots \sqrt{\sqrt{x}}}}}}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}}\end{align*}Ainsi, si \(x \neq 0\), on trouve \begin{align*}\lim_{n \to \infty}f_{(n)}(x) &= \lim_{n \to \infty}x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}} \\ \\ &= x^{0}\\ \\ &= 1\end{align*}

 

Une simple inéquation

Si \(x>0\), bien sûr \(\frac{x^{2}}{4}>0\), et on a \[1 + x < 1 + x + \frac{x^{2}}{4} = \left(1+\frac{x}{2}\right)^{2}\]Ainsi, en extrayant la racine carrée de chaque côté, \[\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}\]En posant \(y = 1+x\) ou, de manière équivalente, \(x = y-1\), et puisque \(x>0\), pour \(y>1\), on obtient \[\sqrt{y} < 1 + \frac{y-1}{2}\]Cela veut donc dire qu’à chaque itération, la distance entre la valeur de la racine carrée de \(y\) et \(1\) diminue de plus de moitié. Avec les racines successives, on s’approche donc arbitrairement près de \(1.\)

Par exemple, si le nombre de départ est \(49\), alors on est certain de se rapprocher de \(1\) de plus de \[\frac{49-1}{2} = \frac{48}{2} = 24\]Ainsi, \[\sqrt{49}<49-24 = 25\]Bien sûr ce n’est qu’une borne supérieure, en réalité dans cet exemple, la distance diminue de pas mal plus que \(24\) car on sait tous que \(\sqrt{49} =7<25\). Si le nombre de départ est \(10\), alors la distance diminue de plus de \[\frac{10-1}{2} = \frac{9}{2} = 4,\!5\]Effectivement, \[\sqrt{10} \approx 3,\!162 < 10-4,\!5 = 5,\!5\]En extrayant à nouveau la racine carrée, on coupe à nouveau cette distance de plus de moitié et avec les racines itérées, on peut s’approcher arbitrairement près de \(1\).

Le lecteur aguerri aura remarqué qu’il s’agit en fait de manière déguisée de l’inégalité des moyennes arithmétique et géométrique pour deux nombres \[G\leq A\]qui stipule que pour deux nombres positifs \(a\) et \(b\), \[\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\]avec égalité si et seulement si \(a = b\). Il suffit de considérer les valeurs \(a = 1\) et \(b = y>1\) à chaque itération : la moyenne géométrique de \(1\) et de \(y\) est strictement inférieure à la moyenne arithmétique entre \(1\) et ce même nombre : \begin{align*}\sqrt{1\cdot y}&< \frac{1+y}{2} \\ \\ &<\frac{2+1+y-2}{2} \\ \\ &<1+\frac{y-1}{2}\end{align*}Ainsi, puisque \(y>1\), on a \[1<\sqrt{y} <\frac{1+y}{2}\]et une petite réflexion nous convainc que \[1 <\sqrt{\sqrt{y}}<\frac{1+\sqrt{y}}{2}<\sqrt{y}<\frac{1+y}{2}\]

Qu’arrive-t-il si \(0<y<1\) ? C’est moins joli mais il est possible de réduire le cas à celui de \(\frac{1}{y}>1\) car \[\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}\]Puisque les racines itérées de \(\sqrt{\frac{1}{y}}\) s’approche de \(1\), celles de \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) aussi. Et si \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) tend vers \(1\), alors \(\sqrt{y}\) également !

Après avoir étudié la question des nombres pouvant s’exprimer comme une différence de carrés, la suite évidente et très naturelle est celle-ci :

Quels nombres peuvent s’écrire comme une somme de carrés ?

La réponse, dans ce cas-ci, est beaucoup plus difficile que précédemment. Heureusement pour nous, les nombres exprimés comme une somme de carrés sont un résultat classique de la théorie des nombres exposé dans tout bon livre sur le sujet.

Un nombre \(c>1\) peut s’écrire comme une somme de carrés strictement positifs si \(c\) ne comporte pas, dans sa factorisation première, un facteur premier de la forme \(4n+3\) élevé à une puissance impaire et si \(c\) n’est pas une puissance de \(2\) élevée à un exposant pair.

Petite remarque préliminaire : je dois avouer que j’ai réfléchi pendant un bon moment à comment présenter une démonstration élémentaire de ce résultat qui serait accessible à des élèves ou des étudiants et qui serait contenue dans une seule publication sur ce blogue. Comme je ne suis pas satisfait du résultat, la démonstration demeurera, pour l’instant, au statut de brouillon, et fera l’objet d’une autre publication plus tard. Le lecteur sceptique peut néanmoins consulter ces références en attendant : [1], [2], [3] et [4].

Une pièce importante du casse-tête est celle-ci, due à Fermat : tout nombre premier de la forme \(4n+1\) peut s’exprimer comme une somme de carrés d’une façon unique. Les nombres premiers de la forme \(4n+3\), quant à eux, ne peuvent pas s’exprimer comme une somme de carrés. Il reste le nombre premier \(2\) qui ne fait partie ni de la première catégorie ni de l’autre, mais puisque \[2 = 1^2 + 1^2\]le nombre premier \(2\) a sa propre représentation en somme de carrés. La table de valeurs suivante consigne les sommes de carrés uniques pour tous les nombres premiers de la forme \(p = 4n+1\) (ainsi que pour \(2\)) avec \(p<1\,000\) [5].

\(p=2\) ou \(p = 4n+1\) avec \(p<1\,000\)
\[2 = 1^2 + 1^2\]
\[5 = 1^2 + 2^2\]
\[13 = 2^2 + 3^2\]
\[17 = 1^2 + 4^2\]
\[29 = 2^2 + 5^2\]
\[37 = 1^2 + 6^2\]
\[41 = 4^2 + 5^2\]
\[53 = 2^2 + 7^2\]
\[61 = 5^2 + 6^2\]
\[73 = 3^2 + 8^2\]
\[89 = 5^2 + 8^2\]
\[97 = 4^2 + 9^2\]
\[101 = 1^2 + 10^2\]
\[109 = 3^2 + 10^2\]
\[113 = 7^2 + 8^2\]
\[137 = 4^2 + 11^2\]
\[149 = 7^2 + 10^2\]
\[157 = 6^2 + 11^2\]
\[173 = 2^2 + 13^2\]
\[181 = 9^2 + 10^2\]
\[193 = 7^2 + 12^2\]
\[197 = 1^2 + 14^2\]
\[229 = 2^2 + 15^2\]
\[233 = 8^2 + 13^2\]
\[241 = 4^2 + 15^2\]
\[257 = 1^2 + 16^2\]
\[269 = 10^2 + 13^2\]
\[277 = 9^2 + 14^2\]
\[281 = 5^2 + 16^2\]
\[293 = 2^2 + 17^2\]
\[313 = 12^2 + 13^2\]
\[317 = 11^2 + 14^2\]
\[337 = 9^2 + 16^2\]
\[349 = 5^2 + 18^2\]
\[353 = 8^2 + 17^2\]
\[373 = 7^2 + 18^2\]
\[389 = 10^2 + 17^2\]
\[397 = 6^2 + 19^2\]
\[401 = 1^2 + 20^2\]
\[409 = 3^2 + 20^2\]
\[421 = 14^2 + 15^2\]
\[433 = 12^2 + 17^2\]
\[449 = 7^2 + 20^2\]
\[457 = 4^2 + 21^2\]
\[461 = 10^2 + 19^2\]
\[509 = 5^2 + 22^2\]
\[521 = 11^2 + 20^2\]
\[541 = 10^2 + 21^2\]
\[557 = 14^2 + 19^2\]
\[569 = 13^2 + 20^2\]
\[577 = 1^2 + 24^2\]
\[593 = 8^2 + 23^2\]
\[601 = 5^2 + 24^2\]
\[613 = 17^2 + 18^2\]
\[617 = 16^2 + 19^2\]
\[641 = 4^2 + 25^2\]
\[653 = 13^2 + 22^2\]
\[661 = 6^2 + 25^2\]
\[673 = 12^2 + 23^2\]
\[677 = 1^2 + 26^2\]
\[701 = 5^2 + 26^2\]
\[709 = 15^2 + 22^2\]
\[733 = 2^2 + 27^2\]
\[757 = 9^2 + 26^2\]
\[761 = 19^2 + 20^2\]
\[769 = 12^2 + 25^2\]
\[773 = 17^2 + 22^2\]
\[797 = 11^2 + 26^2\]
\[809 = 5^2 + 28^2\]
\[821 = 14^2 + 25^2\]
\[829 = 10^2 + 27^2\]
\[853 = 18^2 + 23^2\]
\[857 = 4^2 + 29^2\]
\[877 = 6^2 + 29^2\]
\[881 = 16^2 + 25^2\]
\[929 = 20^2 + 23^2\]
\[937 = 19^2 + 24^2\]
\[941 = 10^2 + 29^2\]
\[953 = 13^2 + 28^2\]
\[977 = 4^2 + 31^2\]
\[997 = 6^2 + 31^2\]

La deuxième pièce importante du casse-tête est l’identité de Diophante (parfois aussi appelée l’identité de Brahmagupta–Fibonacci) : \begin{align*}\left(x^{2} + y^{2}\right)\!\left(w^{2}+ z^{2}\right) &= x^{2}w^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}w^{2}+y^{2}z^{2}\\ \\ &=(xw)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}+(yw)^{2} \\ \\ &=(xw)^{2}+2xywz+(yz)^{2}+(xz)^{2}-2xywz + (yw)^{2} \\ \\ &=\left(xw + yz\right)^2 + \left(xz-yw\right)^{2}\end{align*}Cette identité nous permet d’exprimer un produit de sommes de carrés en une somme de carrés \[\left(x^{2}+y^{2}\right)\!\left(w^{2}+z^{2}\right) = (xw+yz)^{2}+(xz-yz)^{2}\]Il apparait donc possible de calculer la factorisation première d’un nombre, puis, si les facteurs premiers sont de la bonne forme, d’exprimer, en plusieurs étapes au besoin, les produits de facteurs premiers en sommes de carrés.

Le lecteur aguerri aura peut-être remarqué qu’il est aussi possible d’obtenir cette identité\begin{align*}\left(x^{2} + y^{2}\right)\left(w^{2}+ z^{2}\right) &= x^{2}w^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}w^{2}+y^{2}z^{2}\\ \\ &=(xw)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}+(yw)^{2} \\ \\ &=(xw)^{2}-2xywz+(yz)^{2}+(xz)^{2}+2xywz + (yw)^{2} \\ \\ &=\left(xw + yz\right)^2 + \left(xz-yw\right)^{2}\end{align*}En général, il est donc possible d’exprimer le produit de deux sommes de carrés en deux sommes de carrés différentes. Par exemple, \begin{align*}221&= 13\cdot 17 \\ \\ &= \left(4 + 9\right)\left(1+16\right) \\ \\ &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(1^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &= \left(2\cdot 1 + 3\cdot 4\right)^2 + \left(2\cdot 4-3\cdot 1\right)^{2} \\ \\ &= 14^{2} + 5^{2} \\ \\ \\ &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(1^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=\left(2\cdot 1-3\cdot 4\right)^{2} + \left(2\cdot 4+3\cdot 1\right)^{2} \\ \\ &= \left(-10\right)^2 + 11^{2} \\ \\ &=10^{2}+11^{2}\end{align*}Le nombre \(221\) s’écrit donc de deux façons différentes comme une somme de carrés \[221 = 14^{2}+5^{2}= 10^{2}+11^{2}\]Notons enfin qu’il est possible d’éviter d’utiliser la deuxième identité \[\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(w^{2}+z^{2}\right) =\left(xw-yz\right)^2 + \left(xz+yw\right)^{2}\] et de n’utiliser que la première \[\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(w^{2}+z^{2}\right) =\left(xw + yz\right)^2 + \left(xz-yw\right)^{2}\]car, en réalité, on obtient le même résultat en échangeant \(w\) et \(z\) dans la première (une simple manipulation algébrique convainc). En reprenant l’exemple numérique de \(221\), on obtient \begin{align*}221 &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(1^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(4^{2}+1^{2}\right) \\ \\ &=\left(2\cdot 4 + 3\cdot 1\right)\left(2\cdot 1-3\cdot 4\right) \\ \\ &= 11^{2}+(-10)^{2}\\ \\ &=11^{2}+10^{2}\end{align*}

Petit détail concernant \(2 = 1^{2}+1^{2}\). Dans ce cas \(x = y\) (ou \(w=z\), peu importe) et cela ne génère pas deux sommes différentes. Par exemple, \begin{align*}146&= 2\cdot 73 \\ \\ &=\left(1 + 1\right)\left(9 + 64\right) \\ \\ &=\left(1^{2}+1^{2}\right)\left(3^{2}+8^{2}\right) \\ \\ &=\left(1\cdot 3 + 1\cdot 8\right)^{2}+\left(1\cdot 8-1\cdot 3\right)^{2} \\ \\ &=11^{2}+5^{2}  \\ \\ \\ &=\left(1^{2}+1^{2}\right)\left(8^{2}+3^{2}\right) \\ \\ &= \left(1\cdot 8+1\cdot 3\right)^{2}+\left(1\cdot 3-1\cdot 8\right)^{2} \\ \\ &=11^{2}+\left(-5\right)^{2} \\ \\ &=11^{2}+5^{2}\end{align*}Il est aussi inutile d’utiliser l’identité de Diophante si les deux nombres premiers sont \(2\) \begin{align*}2^{2} &= 2\cdot 2 \\ \\ &=(1^{2}+1^{2})(1^{2}+1^{2}) \\ \\ &=(1\cdot 1+1\cdot 1)^{2}+(1\cdot 1-1\cdot 1)^{2} \\ \\ &=2^{2}+0^{2} \\ \\ &=2^{2}\end{align*}

La dernière pièce du casse-tête vient du fait que si \[c = (ad)^{2}+(bd)^{2}\] alors \[c = d^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\]avec une simple mise en évidence. Ainsi, un nombre peut posséder dans sa factorisation première des facteurs premiers de la forme \(4n+3\), si ceux-ci sont présents un nombre pair de fois chacun.

On considère un nombre \[c =d^{2} \cdot 2^{\alpha} \cdot p_{1}^{\beta}\cdot p_{2}^{\gamma} \ \dots  \ p_{n}^{\omega}\]dans lequel \(d^{2}\) est le produit des facteurs premiers de la forme \(4n+3\) (tous nécessairement présents un nombre pairs de fois) et \(p_{1}\), \(p_{2}\), … , \(p_{n}\) sont les facteurs premiers de la forme \(4n+1\). Le facteur \(2 = 1^{2}+1^{2}\) a sa place particulière dans cette factorisation. On calcule \(x = (\beta +1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)\). Si \(x\) est pair, il y a \(\frac{1}{2}x\) sommes de carrés possibles. Si \(x\) est impair, cela implique que chaque facteur \(p_{i}\) est présent un nombre pair de fois (il pourrait même être possible qu’il n’y ait aucun facteur de la forme \(4n+1\) et dans ce cas on poserait \(\beta=0\), \(\gamma = 0\), … , \(\omega = 0\), et on obtiendrait \(x=1\)). Si \(\alpha\) est pair aussi, le nombre \(c\) est un carré et il y a \(\frac{1}{2}(x-1)\) sommes de carrés possibles. Si \(\alpha\) est impair, alors il y a \(\frac{1}{2}(x+1)\) sommes de carrés possibles. [6]

Corollaire : si \(c\) est une puissance de \(2\), alors il y a une seule façon de l’exprimer comme une somme de carrés si l’exposant est impair et aucune façon si l’exposant est pair.

Considérons enfin ces quelques exemples numériques.

\(8\,918\)

La factorisation première de \(8\, 918\) étant \(2\cdot 7^{3}\cdot 13\), et on constate qu’un facteur premier de la forme \(4n+3\), dans ce cas précis, \(7 = 4(1) + 3\), est présent un nombre impair de fois. Le nombre \(8\,918\) ne peut donc pas s’exprimer comme une somme de carrés.

\(6\,984\)

La factorisation première de \(6\,984\) est \(2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 97\). Dans ce cas, le nombre premier de la forme \(4n+3\), soit \(3\), est présent un nombre pair de fois. Le nombre premier \(97\) est un nombre premier de la forme \(4n+1\). On peut donc écrire \[6\,984 = \left(2\cdot 3\right)^{2}\left(2\cdot 97\right)\]Il n’y aura donc qu’une seule façon (\(\frac{(1+1)}{2}=1\)) d’écrire le nombre \(6\,984\) comme une somme de carrés. \begin{align*}6\,984 &= 6^{2} \left(2 \cdot 97\right) \\ \\ &=\left(1^{2}+1^{2}\right)\left(4^{2}+9^{2}\right) \\ \\ &=6^{2}\left(\left(1\cdot 4 + 1\cdot 9\right)^{2} + \left(1\cdot 9-1\cdot 4\right)^{2}\right) \\ \\ &=6^{2}\left(13^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=78^{2}+30^{2}\end{align*}

\(5\,945\)

La factorisation première de \(5\,945\) est \(5\cdot 29\cdot 41\). Il y a trois facteurs premiers de la forme \(4n+1\) affectés d’un exposant \(1\) et cela implique qu’il y aura \(\frac{(1+1)(1+1)(1+1)}{2}= 4\) sommes différentes. D’abord, on note que \begin{align*}5\,945&=5 \cdot 29 \cdot 41 \\ \\ &=\left(1^{2}+2^{2}\right)\left(2^{2}+5^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ \\ &=\left(\left(1\cdot2 + 2\cdot 5\right)^{2}+\left(1\cdot 5-2\cdot 2\right)^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &= \left(12^{2}+1^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=(12\cdot4 + 1\cdot 5)^{2}+(12\cdot 5-1\cdot 4)^{2}\\ \\ &=53^{2}+56^{2} \\ \\ \\ &=\left(12^{2}+1^{2}\right)\left(5^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=(12\cdot 5+ 1\cdot 4)(12 \cdot 4- 1\cdot 5) \\ \\ &=64^{2}+43^{2} \\ \\ \\ &=\left(2^{2}+1^{2}\right)\left(2^{2}+5^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right)\\ \\ &=\left((2\cdot2 + 1\cdot 5)^{2}+(2\cdot 5-1\cdot 2)^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=\left(9^{2}+8^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=(8\cdot 4+8\cdot 5)^{2}+(9\cdot 5-8\cdot 4)^{2}\\ \\ &=76^{2}+13^{2}\\ \\ \\ &=\left(9^{2}+8^{2}\right)\left(5^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=(9\cdot 5 + 7\cdot 4)^{2}+(9\cdot 4-8\cdot 5)^{2}\\ \\ &=77^{2}+(-4)^{2}\\ \\ &=77^{2}+4^{2}\end{align*}

\(29\,768\)

La factorisation première de \(29\,768\) est \(2^{3}\cdot 61^{2}\). Le seul facteur de la forme \(4n+1\), \(61\), est présent un nombre pair de fois alors que le facteur \(2\) est présent un nombre impair de fois. Il y a donc \(\frac{(2+1)+1}{2} = 2\) façons d’exprimer \(29\,768\) comme une somme de carrés. \begin{align*}29\,768 &= 2^{3}\cdot 61^{2} \\ \\ &=2\cdot 2^{2}\cdot 61^{2} \\ \\ &= 2\cdot 122^{2} \\ \\ &=122^{2} + 122^{2} \\ \\ \\ &=2^{3}\cdot 61 \cdot 61 \\ \\ &= 2^{3}\left(6^{2}+5^{2}\right)\left(5^{2}+6^{2}\right) \\ \\ &= 2^{3}\left((6\cdot 5 + 5\cdot 6)^{2}+(6\cdot 6-5\cdot 5)^{2}\right) \\ \\ &=2^{2}\cdot 2\left(60^{2}+11^{2}\right) \\ \\ &=2^{2}\cdot \left(1^{2}+1^{2}\right)\left(60^{2}+11^{2}\right) \\ \\ &=2^{2}\left((1\cdot 60 + 1\cdot 11)^{2}+(1\cdot 11-1\cdot 60)^{2}\right)\\ \\ &=2^{2}\left(71^{2}+(-49)^{2}\right) \\ \\ &=142^{2}+98^{2}\end{align*}

[1]Hardy, Godfrey H. et Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 2008, Oxford University Press, 6e édition

[2]Niven, Ivan, Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 1991, Wiley, 5e édition

[3]Andrews, George E., Theory of Numbers, 1994, Dover

[4]Mathologer, Why was this visual proof missed for 400 years? (Fermat’s two square theorem), https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk

[5]Charles Hermite propose l’algorithme suivant (qu’on énonce sans démonstration) : Pour trouver \(a\) et \(b\) tels que \[a^{2}+b^{2}=p\]où \(p\) est de la forme \(4n+1\), on trouve le plus petit \(z\) tel que \[z^{2}\equiv -1 \text{ mod } p\]puis on applique l’algorithme d’Euclide à \(z\) et \(p\) et on s’arrête dès qu’on obtient deux nombres \(a\) et \(b\) inférieurs à \(\sqrt{p}\). Hermite à montré que ces \(a\) et \(b\) sont ceux qu’on cherche. Par exemple, pour \(p=157\), on trouve que le plus petit \(z\) pour lequel \(z\equiv -1 \text{ mod } 157\) est \(z = 28\) car \[28^{2}=784=157(5)-1 \equiv -1 \text{ mod } 157\]On applique ensuite l’algorithme d’Euclide avec \(28\) et \(157\). On s’arrête dès que les nombres sont inférieurs à \(\sqrt{157}\approx 12,\!53\).\[(28, \ 157) \to (28, \ 17) \to (11,\ 17) \to (11,\ 6)\]Voilà ! On constate que \[11^{2}+6^{2}= 157\]

[6] Weisstein, Eric W., Sum of Squares Function, From MathWorld–A Wolfram Web Resource.  https://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Quels nombres entiers \(c>0\) peuvent s’exprimer comme une différence de carrés ? De combien de manières différentes ?  Comment trouver de telles différences, concrètement ?

Le nombre \(c\) est un multiple de \(4\)

On considère l’expression \begin{align*}c &= a^{2}-b^{2} \\ \\ &=(a+b)(a-b)\end{align*}Si \(a\) et \(b\) sont tous les deux pairs, alors \(a+b\) et \(a-b\) sont pairs aussi. Et si \(a\) et \(b\) sont tous les deux impairs, \(a+b\) et \(a-b\) sont quand même pairs car la somme ou la différence de nombres impairs est paire. En d’autres mots, si \(a\) et \(b\) sont de même parité, \(a+b\) et \(a-b\) sont pairs.

On pose \[a +b=2x\]et\[a-b=2y\]On obtient \[c = (2x)(2y) = 4xy\]et on déduit que \(c\) est non seulement un nombre pair, c’est un multiple de \(4\). Cela nous permet aussi de trouver la ou les valeurs de \(a\) et \(b\) pour un certain \(c\). \begin{align*}a+b&=2x \\ \\ a-b &=2y\end{align*}En additionnant les équations on obtient \begin{align*}2a &= 2x + 2y \\ \\ a &= x+y\end{align*} et en soustrayant les équations on obtient \begin{align*}2b &=2x-2y \\ \\ b&=x-y\end{align*}Ainsi, si on désire exprimer un multiple de \(4\) comme une différence de carrés, on doit d’abord factoriser le nombre comme un produit de deux nombres pairs \(2x\) et \(2y\) afin de trouver les valeurs de \(x\) et de \(y\), puis celles de \(a\) et \(b\). Il y a autant de différences différentes que de produits de facteurs pairs différents. Un exemple numérique s’impose.

Le nombre  \(312\) s’exprime-t-il comme une différence de carrés ? De combien de manières différentes ? On note que \begin{align*}312 &= 156 \times 2 \\ \\ &= 78 \times 4 \\ \\ &= 52 \times 6 \\ \\ &= 26 \times 12\end{align*}(Notez que des produits tels que \(321 = 39 \times 8\) ou \(312 = 24\times 13\) n’apparaissent pas dans la liste car dans ces produits un des deux facteurs est impair.) Le produit \[312 = 156 \times 2 = 2(78) \times 2(1)\]nous donne les valeurs de \(x = 78\) et \(y=1\), puis de \[a = 78 + 1 = 79\] et \[b = 78-1 = 77\] et la différence \[312 = 79^{2}-77^{2}\]Le deuxième produit \[312 = 78 \times 4 = 2(39)-2(2)\]génère les valeurs \(x = 39\) et \(y = 2\) et donc \[a=39+2 = 41\] et \[b=39-2 = 37\] menant à la différence \[312 = 41^{2}-37^{2}\]Enfin, les deux derniers produits \[312 = 52 \times 6 = 2(26)\times 2(3)\]et \[312=26\times 12 = 2(13) \times 2(6)\]nous permettent de déduire les valeurs de \(x\), \(y\), \(a\) et \(b\) afin d’obtenir les différences \[312 = 29^{2}-23^{2}\]et\[312 = 19^{2}-7^{2}\]Ce sont les quatre différences correspondant aux quatre produits.

On considère la factorisation première de \(c\) \[c = 2^{\alpha}\cdot p_{0}^{\beta}\cdot p_{1}^{\gamma} \dots p_{n}^{\omega}\]dans laquelle les \(p_{i}\) sont les facteurs premiers impairs. On peut trouver le nombre de différences (qui est égal au nombre de produits) en calculant le nombre de diviseurs (mais en réservant tout de même deux facteurs \(2\) pour s’assurer d’avoir deux facteurs pairs) et en divisant par \(2\) pour obtenir des paires de diviseurs. Le nombre de différences correspond donc à \[\# = \frac{(\alpha-2 +1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)}{2}\]si le nombre n’est pas un carré parfait. Si le nombre est un carré parfait qui se divise par \(4\), il possède un nombre impair de diviseurs et on utilise \[\# = \frac{(\alpha-2 +1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)-1}{2}\]En outre, on peut éviter cette exception ingrate des carrés parfaits avec une partie entière : \[\#=\left[  \frac{(\alpha-2 +1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots  (\omega + 1)}{2}\right]\] dans laquelle \([x]\) est la partie entière de \(x\) (généralement notée \(\lfloor x\rfloor\) par les anglais).

Le nombre \(c\) est impair

\begin{align*}c &= a^{2}-b^{2} \\ \\ &=(a+b)(a-b)\end{align*}Si \(a\) et \(b\) sont de parités différentes, alors \(a+b\) et \(a-b\) sont tous les deux impairs. On déduit que le nombre \(c\) est le produit de deux nombres impairs : c’est donc un nombre impair. On peut poser \[a+b=2x+1\] et \[a-b=2y+1\] et à l’instar de ce qu’on a fait précédemment, on peut résoudre le système d’équations \begin{align*}a+b&=2x+1 \\ \\ a-b&=2y+1\end{align*}Si on additionne les deux équations, on obtient \[2a = 2x + 2y + 2\]ce qui fait \[a = x + y + 1\]et si on soustrait les deux équations on obtient \[2b = 2x + 1-(2y+1) = 2x-2y\]ce qui fait \[b =x-y\]Ainsi, si on désire exprimer un nombre impair comme une différence de carrés, on doit d’abord factoriser le nombre en deux facteurs impairs afin de trouver les valeurs de \(x\) et de \(y\) puis de celles de \(a\) et \(b\). Il y a autant de différences différentes que de produits de facteurs impairs différents.

Le nombre \(105\) s’exprime-t-il comme une différence de carrés ? On note que \begin{align*}105&= 105\times 1 \\ \\ &= 35 \times 3 \\ \\ &= 21 \times 5 \\ \\ &= 15 \times 7\end{align*}Le premier produit \[105 = 105 \times 1\] peut sembler trivial, mais en posant \(2x + 1 = 105\), on obtient \(x = 52\), puis en posant \(2y + 1 = 1\), on obtient \(y=0\). Cela nous permet ensuite de calculer les valeurs de \(a = 52 + 0 + 1 = 53\) et de \(b = 52-0 = 52\) ce qui nous donne la différence de carrés \[105 = 53^{2}-52^{2}\](On note au passage que tout nombre impair s’exprime toujours comme la différence des carrés de deux nombres consécutifs car \begin{align*}(k+1)^{2}-k^{2}&= k^{2}+2k+1-k^{2} \\ \\ &=2k+1\end{align*}Ainsi, le \(k^{\text{e}}\) nombre impair est la différence entre le \(k^{\text{e}}\) carré et le \((k-1)^{\text{e}}\) carré.)

Le deuxième produit \[105 = 35\times 3\]nous permet de poser \(2x+1=35\) et trouver \(x = 17\) et \(2y + 1 = 3\) et trouver \(y = 1\). Cela nous permet ensuite de calculer \(a = 17 + 1 + 1 = 19\) et \(b=17-1 = 16\) afin de trouver la différence \[105 = 19^{2}-16^{2}\]Le produit \[105 = 21 \times 5\]nous permet quant à lui de poser \(2x+1= 21\) et trouver \(x = 10\) et \(2y+1=5\) et trouver \(y=2\). Le calcul de \(a = 10+2+1 = 13\) et de \(b=10-2= 8\) génère la différence \[105 = 13^{2}-8^{2}\]Enfin, le produit \[105 = 15 \times 7\]nous permet de générer la différence \[105 = 11^{2}-4^{2}\]

On considère la factorisation première de \(c\) \[c = p_{0}^{\alpha}\cdot p_{1}^{\beta} \cdot p_{2}^{\gamma} \dots p_{n}^{\omega}\]dans laquelle les \(p_{i}\) sont les facteurs premiers impairs (notez l’absence de facteur \(2\)). À l’instar de ce qu’on a fait dans la section précédente, on calcule la moitié du nombre de diviseurs \[\# = \frac{(\alpha+1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)}{2}\]si le nombre n’est pas un carré parfait. Si le nombre est un carré parfait impair, on utilise \[\# = \frac{(\alpha +1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)-1}{2}\]On évite encore l’exception des carrés parfaits avec une partie entière : \[\#=\left[  \frac{(\alpha +1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots  (\omega + 1)}{2}\right]\]

En corolaire, puisque qu’un nombre premier ne se divise que par \(1\) et lui-même, un seul produit est possible, un produit de la forme \[c = p \times 1\]et donc tout nombre premier impair peut être représenté comme une différences de carrés de manière unique. Quelques étapes algébriques nous permettent de trouver \begin{align*}2x +1 &= p \\  \\ x &=\frac{p-1}{2} \\ \\ \\ 2y+1 &= 1 \\ \\ y&= 0  \\ \\ \\ a&=  x + y + 1 \\ \\ &= \frac{p-1}{2} + 0 + 1 \\ \\ &=\frac{p+1}{2} \\ \\ \\ b&=x-y \\ \\ &= \frac{p-1}{2}-0 \\ \\ &=\frac{p-1}{2}\end{align*}Ainsi, \[p = \left(\frac{p+1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}\]Le lecteur aguerri aura remarqué que puisque l’écart entre les nombres \(\frac{p+1}{2}\) et \(\frac{p-1}{2}\) est \(1\), cela correspond à une différence des carrés de deux nombres consécutifs tel que vu plus haut, et donc pour un nombre premier impair \(p\), il s’agit de la seule différence possible.

Le nombre \(c\) est un nombre pair qui ne se divise pas par \(4\)

Les nombres pairs non-divisibles par \(4\) sont les laissés-pour-compte.\begin{align*}c &= a^{2}-b^{2} \\ \\ &=(a+b)(a-b)\end{align*}

Si \(c\) est un nombre pair qui ne se divise pas par \(4\), alors \(c\) comporte dans sa factorisation première un seul et unique facteur \(2\). Cela implique que \(a+b\) est pair et \(a-b\) est impair ou inversement, \(a+b\) est impair et \(a-b\) est pair. En d’autres mots, \(a+b\) et \(a-b\) sont de parités différentes.

Si \(a+b\) est pair, alors \(a\) et \(b\) sont de même parité. Dans ce cas, \(a-b\) doit être impair, et \(a\) et \(b\) doivent être de parités différentes, une contradiction.

Si \(a+b\) est impair, alors \(a\) et \(b\) sont de parités différentes. Dans ce cas, \(a-b\) doit être pair, et \(a\) et \(b\) doivent être de même parité, une contradiction.

En outre, dans le cas d’un nombre pair non divisible par \(4\), il n’y a aucune différence de carrés possible.