Test pour nombres polygonaux

Je viens de voir avec mes élèves de première secondaire comment trouver la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone. Si le polygone est convexe, c’est facile de choisir un sommet et de tracer toutes les diagonales issues de ce sommet (si le polygone est concave c’est plus délicat, il faut tracer des diagonales de plus d’un sommet qui ne se coupent pas).

Les diagonales divisent le polygone en triangles. Puisqu’on ne peut relier un sommet à lui-même ni aux deux sommets qui lui sont adjacents, dans un polygone à \(n\) côtés, il y a \(n-3\) diagonales qui divisent le polygone en \(n-2\) triangles.

Sachant que la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 180°, on réussit à trouver ce qu’on cherche facilement :

\[\underset{n-2 \text{ fois}}{\underbrace{\textcolor{Green}{180^{\circ}}+\textcolor{Blue}{180^{\circ}}+\textcolor{Orange}{180^{\circ}}+ \ \dots \ + \textcolor{Red}{180^{\circ}}}}\]

La somme des mesures des angles d’un polygone à \(n\) côtés est \((n-2)\times 180^{\circ}\).

Cela m’a fait penser à cette petite astuce dans laquelle on considère les diagonales d’un polygone et les nombres polygonaux. Un nombre polygonal est un nombre qu’on peut représenter avec des points disposés en forme de polygone régulier. Les premiers nombres polygonaux qui nous intéressent sont les nombres triangulaires.

Les nombres triangulaires

Les nombres triangulaires sont, sans surprise, les nombres qu’on peut représenter avec un triangle. Les nombres triangulaires sont \[1, \, 3,\, 6,\, 10,\, 15,\, 21,\, 28, \, 36, \, \dots \]

Le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire correspond à la somme des \(n\) premiers entiers. Par exemple, le sixième nombre triangulaire est la somme des six premiers entiers \[t_{6} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\]On connaît l’histoire, que dis-je, la légende, d’un jeune Gauss qui réussit à calculer de manière très astucieuse la somme des \(n\) premiers entiers. L’expression qui correspond à la somme des \(n\) premiers entiers est donc aussi celle qui génère les nombres triangulaires. Si \(t_{n}\) représente le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire, alors \[t_{n} = \frac{n(n+1)}{2}\]

Les autres nombres polygonaux

On s’intéresse ensuite aux autres nombres polygonaux. Dans l’ordre, on retrouverait les nombres carrés.

Dans ce cas-ci, on obtient donc la somme des nombres impairs.

Évidemment, on a \[c_{n} = n^2\]

Suivent les nombres pentagonaux.

L’expression du \(n^{\text{e}}\) nombre pentagonal est \[p_{n} = \frac{3n^{2}-n}{2}\]

Puisqu’il faut bien s’arrêter quelque part, on termine avec les nombres hexagonaux.

Dans ce cas-ci, c’est \[h_{n} = 2n^2 – n\]qui nous donne le \(n^{\text{e}}\) nombre hexagonal.

On constate que les règles qui nous donnent le \(n^{\text{e}}\) nombre polygonal sont toutes quadratiques. Ce n’est pas surprenant car les nombres polygonaux sont tous des sommes de nombres en progression arithmétique.

  • Le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire est la somme des \(n\) premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \(1\) et de raison \(1\).
  • Le \(n^{\text{e}}\) nombre carré est la somme des \(n\) premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \(1\) et de raison \(2\).
  • Le \(n^{\text{e}}\) nombre pentagonal est la somme des \(n\) premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \(1\) et de raison \(3\).
  • Le \(n^{\text{e}}\) nombre hexagonal est la somme des \(n\) premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \(1\) et de raison \(4\).
  • En général, le \(n^{\text{e}}\) nombre \(k-\)gonal est la somme des \(n\) premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \(1\) et de raison \(k-2\).

Si \(\pi_{(k,n)}\) est le \(n^{\text{e}}\) nombre \(k-\)gonal, alors \[\pi_{(k,n)} = \sum_{i = 0}^{n-1} 1 + (k-2)i\]

123456 789
Nombres triangulaires1  3  6  10 15 21 283645
Nombres carrés149162536496481
Nombres pentagonaux15122235517092117
Nombres hexagonaux161528456691120120
Nombres heptagonaux1718345581112148189
Nombres octogonaux1821406596133176225

 

Les diagonales (bis)

Qu’obtient-on lorsqu’on trace les diagonales issues d’un sommet dans ces polygones ? Des triangles, bien sûr ! Cela nous permet de découvrir une jolie relation qui lie les nombres polygonaux aux nombres nombres triangulaires. Cette relation génère les formules trouvées ci-haut et, avec quelques manipulations algébriques supplémentaires, un test pour savoir si un nombre est \(k-\)gonal ou non.

Puisqu’il sera possible d’obtenir deux triangles en traçant la diagonale issue d’un sommet dans un carré, un moment suffit pour nous convaincre que \[c_{n} = t_{n}+t_{n-1}\]De manière analogue, on constate que dans le pentagone, on obtiendra trois triangles et que \[p_{n} = t_{n} + 2t_{n-1}\]

Enfin, le cas de l’hexagone, avec ses quatre triangles,

nous permet d’obtenir \[h_{n} = t_{n} + 3t_{n-1}\]Puisque le \(k-\)gone se divisera en \(k-2\) triangles, on trouve \[\pi_{(k,n)} = t_{n} + (k-3)t_{n-1}\]c’est-à-dire un triangle de \(t_{n}\) et \(k-3\) triangles de \(t_{n-1}\) ce qui fait \(k-2\) triangles au total. En se rappelant que \[t_n = \frac{n(n+1)}{2}\]la relation précédente nous permet de trouver une expression générale pour le \(n^{\text{e}}\) nombre \(k-\)gonal.\begin{align*}\pi_{(k,n)} &= t_{n} + (k-3)t_{n-1} \\ \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + (k-3)\frac{(n-1)(n)}{2} \\ \\ &= \frac{n^2 + n}{2} + (k-3)\frac{n^{2}-n}{2} \\ \\ &= \frac{n^2  + n + (k-3)(n^{2}-n)}{2} \\ \\ &= \frac{n^2  + n  + kn^2-3n^{2}-kn + 3n}{2} \\ \\ &=\frac{(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}\end{align*}

Ainsi, si \(k = 4\), on obtient \begin{align*}\pi_{(4,n)} &= \frac{(4-2)n^{2}-(4-4)n}{2} \\ \\ &= \frac{2n^{2}+(0)n}{2} \\ \\ &= \frac{2n^2}{2} \\ \\ &=n^2 \\ \\ &=c_{n}\end{align*}

Si \(k = 5\), on a \begin{align*}\pi_{(5,n)} &= \frac{(5-2)n^{2}-(5-4)n}{2} \\ \\ &=\frac{3n^{2}-n}{2} \\ \\ &=p_{n}\end{align*}

Enfin, si \(k = 6\), \begin{align*}\pi_{(6,n)} &= \frac{(6-2)n^{2}-(6-4)n}{2} \\ \\ &=\frac{4n^{2}-2n}{2} \\ \\ &= 2n^{2}-n \\ \\ &=h_{n}\end{align*}ce qu’on avait plus tôt !

 

Le test pour nombres polygonaux

L’expression précédente peut servir de test. Par exemple, le nombre \(341\) est-il un nombre octogonal ? On pose \(k=8\) et \(\pi_{(8,n)} = 341\) : \begin{align*}341 &= \frac{(8-2)n^{2}-(8-4)n}{2} \\ \\ 341&= \frac{6n^{2}-4n}{2} \\ \\ 341&=3n^{2}-2n \\ \\ 0 &= 3n^{2}-2n-341 \\ \\ 0&=3n^{2}-33n+31n-341 \\ \\ 0&=3n(n-11)+31(n-11) \\ \\ 0&=(n-11)(3n+31)\end{align*}En ignorant la deuxième solution, \(n=-\frac{31}{3}\), et en conservant \(n=11\), on trouve qu’effectivement, \(341\) est le \(11^{\text{e}}\) nombre octogonal.

Le nombre \(219\) est-il un nombre heptagonal ? On pose \(k=7\) et \(\pi_{(7,n)} = 219\) : \begin{align*}219 &= \frac{(7-2)n^{2}-(7-4)n}{2} \\ \\ 219&= \frac{5n^{2}-3n}{2} \\ \\ 438 &= 5n^{2} – 3n \\ \\ 0&=5n^{2}-3n-438\end{align*}Ici, on ne peut factoriser aisément. Le calcul du discriminant nous donne \begin{align*}\Delta&= (-3)^2 – 4(5)(-438) \\ \\ &=8\,769\end{align*}Puisque \(8\,769 > 8\,649 = 93^{2}\) et \(8\,769 < 8\,836 = 94^{2}\), le discriminant n’est pas un carré et les solutions sont irrationnelles. Conclusion : le nombre \(219\) n’est pas une nombre heptagonal.

Il faut donc résoudre une équation quadratique chaque fois. Et si jamais elle est difficilement factorisable avec la méthode somme-produit, il faut calculer le discriminant et vérifier si celui-ci est un carré ou non. Il est donc souhaitable de faire un peu plus de travail en amont afin que le voyage soit ensuite plus tranquille.

On considère un nombre \(x\). On multiplie d’abord chaque côté par \(8(k-2)\) puis on complète le carré : \begin{align*}x&= \frac{(k-2)n^2-(k-4)n}{2} \\ \\ 8(k-2)x &= \frac{8(k-2)^2n^{2}-8(k-2)(k-4)n}{2} \\ \\ 8(k-2)x&= 4(k-2)n^{2}-4(k-4)(k-2)n \\ \\ 8(k-2)x &= (2(k-2)n)^{2}-4(k-4)(k-2)n +(k-4)^{2}-(k-4)^{2} \\ \\  8(k-2)x&=\left(2(k-2)n – (k-4)\right)^{2}-(k-4)^2 \\ \\ 8(k-2)x+(k-4)^{2} &=\left(2(k-2)n – (k-4)\right)^{2}\end{align*}

À quoi tout cela rime ? Si \(x\) est un nombre \(k-\)gonal, alors \(8(k-2)x + (k-4)^{2}\) est un carré parfait. On peut aussi trouver son rang facilement. En gardant la racine positive à la deuxième étape, on obtient \begin{align*}8(k-2)x+(k-4)^{2} &=\left(2(k-2)n-(k-4)\right)^{2} \\ \\ \sqrt{8(k-2)x+(k-4)^{2} } &= 2(k-2)n-(k-4) \\ \\ \sqrt{8(k-2)x+(k-4)^{2} }+(k-4) &= 2(k-2)n \\ \\ \frac{\sqrt{8(k-2)x+(k-4)^{2} }+(k-4)}{2(k-2)} &=n\end{align*}

Pour terminer, deux derniers exemples. Le nombre \(1\,001\) est-il pentagonal ? Je le multiplie par \(8(k-2) = 8(5-2) = 8(3) = 24\) et j’ajoute \((k-4)^2 = (5-4)^2 = 1^2 =1\).\[24(1\,001) + 1 = 24\,024 + 1 = 24\,025\]Est-ce que \(24\,025\) est un nombre carré ? Oui ! \[24\,025 =  155^2\]Cela veut dire que \(1\,001\) est un nombre pentagonal. Pour trouver le rang, j’ajoute \(k-4 = 5-4 = 1\) et je divise par \(2(k-2) = 2(5-2)= 2(3)=6\)\[\frac{155+1}{6} = \frac{156}{6} = 26\]Ainsi, \(1\,001\) est le \(26^{\text{e}}\) nombre pentagonal.

Le nombre \(1\,125\) est-il un nombre hexagonal ? Je le multiple par \(8(k-2) = 8(6-2) = 8(4) = 32\) et j’ajoute \((k-4)^2 = (6-4)^2 = 2^2 = 4\).\[32(1\,125) + 4 = 36\,000 + 4 = 36\,004\]Ce nombre est-il un carré ? Puisque \(189^2 = 35\,721\) et \(190^2 = 36\,100\) et que \(35\,721 < 36\,004 < 36\,100\), non, ce n’est pas un carré ! Ainsi, le nombre \(1\,125\) n’est pas un nombre hexagonal.

Référence :

NELSON, Roger B., Nuggets of Number Theory : A visual Approach, MAA Press 2010

Le nombre de compositions

De combien de manière différentes peut-on faire des piles avec \(n\) objets identiques si l’ordre des piles est important ?

Par exemple, il y a 8 façons de faire des piles avec 4 objets identiques.

On peut représenter de manière plus abstraite mais aussi plus efficacement ces huit façons grâce aux sommes suivantes : \begin{align*}&4 &&3 + 1 &&&1 + 3 &&&&2 + 2 \\ \\ &2 + 1 + 1 &&1 + 2 + 1  &&&1 + 1 + 2  &&&&1 + 1 + 1 + 1\end{align*}

Le problème se reformule ainsi : de combien de façons différentes peut-on exprimer un nombre \(n\) comme une somme de nombres entiers strictement positifs si l’ordre des termes est important.

Vous pouvez vous amuser à chercher les différentes sommes pour des \(n\) petits.

Nombre d'objets
identiques
Nombre de façons
de faire des piles,
avec ordre
Sommes correspondantes
111
222
1 + 1
343
1 + 3
3 + 1
2 + 2
484
1 + 3
3 + 1
2 + 2
1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
5165
1 + 4
4 + 1
2 + 3
3 + 2
1 + 2 + 3
1 + 3 + 2
2 + 1 + 3
2 + 3 + 1
3 + 1 + 2
3 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2
1 + 1 + 2 + 1
1 + 2 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

Les compositions

Comme on le constate pour de petites valeurs de \(n\), il y a toujours \(2^{n-1}\) façons de former des piles avec \(n\) objets identiques si l’ordre est important. En combinatoire, c’est ce qu’on appelle les compositions d’un nombre. En d’autres mots, si \(c(n)\) est le nombre de compositions de \(n\), alors \[c(n) = 2^{n-1}\]

Supposons qu’on représente les \(n\) objets avec des étoiles. Par exemple, considérons le cas où \(n = 5\).\[ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star\]Entre ces \(n\) étoiles, je peux aller placer \(n-1\) « séparateurs », que je représenterai avec des barres verticales. Dans ce cas-ci, il y a \(5-1  = 4\) séparateurs.\[ \star \ \textcolor{Grey}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Grey}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Grey}{\vert} \ \star \ \textcolor{Grey}{\vert} \ \star\]

Je peux décider « d’activer » ou non ces séparateurs individuellement. Cela me permet de former des groupes d’étoiles qui correspondent à des piles ou des termes de la somme. Par exemple, \[ \star \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star\]correspond à \[1 + 3 + 1\] \[~\] \[~\] \[~\]

\[ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star\]correspond à \[3 + 2\] \[~\] \[~\] \[~\]

\[ \star \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star\]correspond à \[1 + 2 + 2\] \[~\] \[~\] \[~\]

\[ \star \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star\]correspond à \[1 + 1 + 1 + 2\] \[~\] \[~\] \[~\]

\[ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{White}{\vert} \ \star \ \textcolor{White}{\vert} \ \star\] correspond à \[5\] \[~\] \[~\] \[~\]

alors que \[ \star \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \! \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star \ \textcolor{Red}{\vert} \ \star\]correspond à \[1 + 1 + 1 + 1 +1\] \[~\] \[~\] \[~\]

Comme il y a \(n-1\) séparateurs et que chaque séparateur a deux états, activé ou non, il y a \(2^{n-1}\) façons différentes d’activer les séparateurs, et donc autant de façons de faire des piles de \(n\) objets identiques avec ordre ou, de manière équivalente, autant de façons d’exprimer un nombre naturel comme une somme d’entiers strictement positifs dans laquelle l’ordre est important.

 

Les partitions

Comme on l’a répété quelques fois, dans le calcul des compositions, l’ordre est important. Si, au contraire, on laisse tomber cette contrainte, il s’agit plutôt de partitions. Par exemple, il y a seulement cinq façons d’exprimer 4 comme une somme d’entiers strictement positifs (au lieu de 8 pour les compositions) : \[4, \quad 3 + 1, \quad 2 + 2, \quad 2 + 1 + 1, \quad 1 + 1 + 1 +1 \]Pour 5, c’est sept façons (au lieu de 16 pour les compositions) : \[5, \quad 4 + 1, \quad 3 + 2, \quad 3 +  1 + 1, \quad 2 + 2 + 1, \quad 2 + 1  + 1 + 1, \quad 1 + 1 + 1 + 1 + 1\]Le fait de ne plus considérer l’ordre rend la chose franchement plus difficile à étudier. Il n’y a pas de formule simple pour exprimer le nombre de partitions. Hardy et Ramanujan ont trouvé que si \(p(n)\) est le nombre de partitions de \(n\), alors \[p(n) \approx \frac{1}{4n\sqrt{3}}e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}\]Cette dernière approximation est modifiée plus tard par Hans Rademacher qui obtient la série convergente suivante[1] \[p(n) = \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}(n)\sqrt{k}\cdot \frac{\text{d}}{\text{d}n}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{24}}}\cdot \sinh\!\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)\right)\]dans laquelle \[A_{k}(n) = \sum_{0\leq h<k}e^{\pi i \cdot s(h,k) -\frac{2\pi i n h}{k}}\]avec \[s(h,\, k) = \sum_{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}\left(\frac{hr}{k} – \left\lfloor\frac{hr}{k}\right\rfloor – \frac{1}{2}\right)\]On comprend que l’étude en profondeur des partitions va bien au delà de la portée de ce blogue !

 

[1] Conway , John H. et Richard Guy, The Book of Numbers, Copernicus, 1998

Bonne année 20 + 21 + 22 + … + 64 + 65 + 66 !

Comme souvent, cela commence avec la question d’une élève. Elle disait se préparer pour un concours mathématique.

Je dois exprimer le nombre \(2\,021\) comme une somme d’entiers consécutifs. Je sais bien sûr que \(2\,021 = 1\,010 + 1\,011\) mais dans le problème, ça dit qu’il y a plus que deux termes… Comment faire ?

Cela nous amène à poser la question plus générale : quels nombres entiers peuvent s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs strictement positifs ? Peut-on écrire n’importe quel nombre entier comme une somme d’entiers consécutifs strictement positifs ? Ou y a-t-il des exceptions ? Qu’arrive-t-il si on s’étend aux entiers relatifs ?

Clairement, en se référant au commentaire de l’élève et en extrapolant, tous les nombres impairs (tous ?) peuvent s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs, car si \(n\) est impair, alors \begin{align*} n &= 2k + 1 \\ \\ &= k + k + 1 \\ \\ & = k + (k + 1) \end{align*}avec \(k \in \mathbb{N}^{*}\), ce qui est une somme d’entiers consécutifs.

J’ai dit « tous ? » car le nombre impair \(1\) pose problème. Si on considère \(0\), alors cela fonctionne même pour \(1 = 0 + 1\). En excluant \(0\), cela ne fonctionne pas pour \(1\).

Deux questions subsistent. D’abord, qu’en est-il des nombres pairs ? Ensuite, certains nombres impairs peuvent s’exprimer de plusieurs façons différentes. Par exemple, en cherchant un peu on trouve \begin{align*}15 & = 7 + 8 \\ \\ &= 4 + 5 + 6 \\ \\ &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \end{align*}Pour \(15 = 7 + 8\), ça va, on a élucidé le mystère, mais comment générer les autres façons, y a-t-il une règle ?

Pour les nombres pairs, ça commence mal. Rien à faire avec \(2\), bien évidemment. Et \(4\) ? \[1 + 2 = 3\]Trop petit ! \[2 + 3 = 5\]Trop grand ! Mince. Est-ce impossible d’exprimer les nombres pairs comme une somme d’entiers consécutifs strictement positifs ? Non, car \[6 = 1 + 2 + 3\]Ah ! Mais les réjouissances sont brèves. Ça échoue immédiatement après, avec \(8\). Impossible de l’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs. Le nombre pair suivant, \(10\), par contre, fonctionne. On trouve \[10 = 1 + 2 + 3 + 4\]\(1\), \(2\), \(4\), \(8\) : cela ressemble aux puissances de \(2\). Un petit programme en Python plus tard, et en laissant tourner la machine jusqu’à \(64\), pourquoi pas, on obtient la table suivante (cliquez sur Next et Previous pour naviguer) :

Différentes sommes d'entiers consécutifs
1 = ?
2 = ?
3 = 1 + 2
4 = ?
5 = 2 + 3
6 = 1 + 2 + 3
7 = 3 + 4
8 = ?
9 = 2 + 3 + 4,
9 = 4 + 5
10 = 1 + 2 + 3 + 4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
13 = 6 + 7
14 = 2 + 3 + 4 + 5
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,
15 = 4 + 5 + 6,
15 = 7 + 8
16 = ?
17 = 8 + 9
18 = 3 + 4 + 5 + 6,
18 = 5 + 6 + 7
19 = 9 + 10
20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6,
21 = 6 + 7 + 8,
21 = 10 + 11
22 = 4 + 5 + 6 + 7
23 = 11 + 12
24 = 7 + 8 + 9
25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
25 = 12 + 13
26 = 5 + 6 + 7 + 8
27 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
27 = 8 + 9 + 10,
27 = 13 + 14
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
29 = 14 + 15
30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
30 = 6 + 7 + 8 + 9,
30 = 9 + 10 + 11
31 = 15 + 16
32 = ?
33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
33 = 10 + 11 + 12,
33 = 16 + 17
34 = 7 + 8 + 9 + 10
35 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
35 = 17 + 18
36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
36 = 11 + 12 + 13
37 = 18 + 19
38 = 8 + 9 + 10 + 11
39 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
39 = 12 + 13 + 14,
39 = 19 + 20
40 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10
41 = 20 + 21
42 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
42 = 9 + 10 + 11 + 12, 42 = 13 + 14 + 15
43 = 21 + 22
44 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
45 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
45 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
45 = 14 + 15 + 16,
45 = 22 + 23
46 = 10 + 11 + 12 + 13
47 = 23 + 24
48 = 15 + 16 + 17
49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
49 = 24 + 25
50 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12,
50 = 11 + 12 + 13 + 14
51 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
51 = 16 + 17 + 18,
51 = 25 + 26
52 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
53 = 26 + 27
54 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
54 = 12 + 13 + 14 + 15,
54 = 17 + 18 + 19
55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
55 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13,
55 = 27 + 28
56 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
57 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12,
57 = 18 + 19 + 20,
57 = 28 + 29
58 = 13 + 14 + 15 + 16
59 = 29 + 30
60 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
60 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 ,
60 = 19 + 20 + 21
61 = 30 + 31
62 = 14 + 15 + 16 + 17
63 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
63 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 ,
63 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13,
63 = 20 + 21 + 22,
63 = 31 + 32
64 = ?

Le programme, une attaque par force brute, échoue à trouver des sommes pour \(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\) et \(64\) uniquement. Notre conjecture semble tenir bon ! Il reste à savoir pourquoi certains nombres pairs, comme \(6\) ou \(10\), peuvent s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs mais pas les puissances de \(2\). Et y a-t-il d’autres exceptions ? 

Qu’est-ce qui distingue les puissances de \(2\) des autres nombres ? L’absence d’un facteur impair ! La clé est (en partie) là ! Si \(n\) contient au moins un facteur impair, alors on peut écrire \[n = k \cdot i\]où \(i\) est un facteur impair supérieur à \(1\) et \(k\) est composé des facteurs \(2\) et des autres facteurs impairs du nombre, s’il y en a. Cela veut dire que \[n =\underset{i \text{ fois}}{\underbrace{k + k + \ \dots \ + k + k + k + \ \dots \ + k + k}}\]Puisqu’il y a un nombre impair de termes \(k\), il y a en \(i\), il est possible d’identifier le terme du milieu, le \(\frac{i + 1}{2}\)e terme. Pour obtenir ce qu’on cherche, il reste à retrancher \(1\) au terme qui précède, le \(\frac{i + 1}{2} -1 \)e terme et ajouter \(1\) au terme qui suit, le \(\frac{i + 1}{2} + 1\)e terme. Ensuite, on soustrait \(2\) au terme prédécent, le \(\frac{i + 1}{2}-2\)e terme et on l’ajoute au terme suivant, le \(\frac{i + 1}{2}+2\)e terme. On procède ainsi de suite jusqu’au premier terme, duquel on retranche \(\frac{i-1}{2}\), et on ajoute la même chose, \(\frac{i -1 }{2}\), au dernier terme. En d’autres mots, \[n= k+ \ \dots \ +k + k + k + k + k + \ \dots \ + k\] \[n =  \left(k-\frac{i-1}{2}\right) + \ \dots \ + (k-2) + (k-1) + k + (k + 1) + (k + 2) + \ \dots \ + \left(k + \frac{i-1}{2}\right)\]Voilà ! On a une somme d’entiers consécutifs !

Un exemple numérique est de mise. Prenons \(15\), tel que suggéré plus haut. On sait que \(15\) possède des facteurs impairs, en fait \(15 = 3 \times 5\). Ainsi, on pourrait écrire \begin{align*}15 &= 3 \times 5 \\ \\ &= 5 + 5 + 5 \\ \\ &= (5-1) + 5 + (5 + 1) \\ \\ &=4 + 5 + 6\end{align*}On aurait très bien pu choisir l’autre facteur impair \begin{align*}15 &= 5 \times 3 \\ \\ &= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \\ \\ &= (3-2) + (3-1) + 3 + (3+1) + (3 + 2) \\ \\ &=1 + 2 + 3 + 4 + 5\end{align*}Cependant, il y a un danger. C’est possible qu’en soustrayant, on obtienne \(0\) ou même des nombres négatifs. Ce n’est pas grave car la somme d’opposés est nulle. Il sera donc possible d’éliminer tout nombre entier négatif qui ferait son apparition dans la somme. C’est ce qui arriverait avec, par exemple, \(14\). \begin{align*} 14 &= 7 \times 2 \\ \\ &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \\ \\ &= (2-3)+ (2-2) + (2-1) + 2 + (2 + 1) + (2+ 2) + (2 + 3) \\ \\ &= (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ \\ &= \textcolor{Red}{(-1) + 0 + 1} + 2 + 3 + 4 + 5 \\ \\ &= \textcolor{Red}{0} + 2 + 3 + 4 + 5 \\ \\ &=2 + 3 + 4 +5 \end{align*}Et, par ailleurs, c’est ce qui arrive lorsqu’on veut retrouver \(15 = 7 + 8\) avec cette méthode, comme dans \begin{align*}15&= 15 \times 1 \\ \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 +1 +1 + 1 \\ \\ &= (1-7) + (1-6) + (1-5) + (1-4) + (1-3) + (1-2) + (1-1) + 1\, + \\ &\phantom{=} \ \ \ \!  (1+1) + (1+2) + (1+3) + (1+4) + (1+5) +(1+6) +(1+7) \\ \\ &=(-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2)+ (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 \\ \\ &=\textcolor{Red}{(-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2)+ (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} + 7 + 8\\ \\ &= \textcolor{Red}{0} + 7 + 8 \\ \\ &= 7 + 8\end{align*}Est-ce tout ? Qu’est-ce que cela nous dit sur les puissances de \(2\) ? Une façon de procéder est de retourner le problème à l’envers.

Les sommes avec un nombre impair de termes

Les sommes avec un nombre impair de termes correspondent à des nombres qui possèdent au moins un facteur impair. En effet, si on a \[n =k + (k + 1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k+i-1) + (k + i)\]où \(i\) est un nombre pair, alors \begin{align*}n&=k(i + 1) + 1 + 2 +  \dots \ + (i-1) + i \\ \\ &= k(i + 1) + \frac{i(i+1)}{2} \\ \\ &=(i + 1)\left(k + \frac{i}{2}\right)\end{align*}Puisque \(i\) est pair, \(i + 1\) est impair et le nombre \(n\) possède donc au moins un facteur impair. En d’autres mots, les nombres qui peuvent s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre impair de termes sont des nombres qui possèdent au moins un facteur impair. Ainsi, une puissance de \(2\) ne peut pas être exprimée comme une somme de nombres entiers consécutifs contenant un nombre impair de termes.

Les sommes avec un nombre pair de termes

Il reste donc les sommes qui contiennent un nombre pair de termes. Supposons cette fois-ci que \(n\) puisse s’exprimer comme une somme de nombres entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes, donc \[n = k + (k + 1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k + i – 1) + (k + i)\]où \(i\) est un nombre impair. Notons qu’il est possible de rajouter à cette somme le terme \(k -1\) et son opposé \(-k + 1\), rajouter \(k-2\) et son opposé \(-k + 2\), ainsi de suite. Un nombre et son opposé viennent par paire, lorsqu’on ajoute en plus \(0\), qui est son propre opposé, on aura rajouté à la somme un nombre impair de termes. Puisque la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire, cela fait maintenant au total un nombre impair de termes. En d’autres mots, \begin{align*}n &= (-k+1) + (-k + 2) + \ \dots \ +\, 0 \, + \ \dots \ + (k-2) + (k-1)\ + \\ &\phantom{=} \ \ \ \! k + (k +1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k + i-1) + (k + i) \end{align*}contient \[\underset{\text{les \(i + 1\) termes de départ}}{\underbrace{i + 1}} + \underset{\text{les \(k-1\) termes et leurs opposés}}{\underbrace{2(k-1)}} + \underset{\text{zéro}}{\underbrace{1}} \  = \ 2k + i\]termes et puisque \(i\) est impair, il y a évidemment un nombre impair de termes. En vertu de ce qu’on a énoncé plus haut, ce nombre est donc un nombre qui contient au moins un facteur impair. Pour s’en convaincre, on peut poser \(-k + 1 = j\) simplement pour rendre l’écriture plus lisible, et remarquer que \begin{align*}n &= (-k+1) + (-k + 2) + \ \dots \ +\, 0 \, + \ \dots \ + (k-2) + (k -1)\ + \\ &\phantom{=} \ \ \ \! k + (k +1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k + i – 1) + (k + i) \end{align*}devient \begin{align*}n &= j + (j+1) + \ \dots +\, (j+k-1) \, + \ \dots \ + (j + 2k-2)\ + (j + 2j -1) + \\ &\phantom{=} \ \ \ \!  (j + 2k) + (j + 2k + 1) + \ \dots \ + (j + 2k + i-2) + (j + 2k + i-1) \\ \\ &= j(2k + i) + 1 + 2 + \ \dots \ + (2k + i -2) + (2 k + i-1) \\ \\ &= j(2k + i) + \frac{(2k +i-1)(2k+i)}{2} \\ \\ &= (2k + i)\left(j + \frac{2k + i-1}{2}\right) \\ \\ &=(2k + i) \left(-k + 1 + \frac{2k + i-1}{2}\right) \\ \\ &=(2k + i)\left(\frac{-2k + 2}{2} + \frac{2k + i – 1}{2}\right)\\ \\ &=(2k + i) \left(\frac{i + 1}{2}\right)\end{align*}Puisque \(i\) est impair, \(2k + i\) est impair, et on peut constater que \(n\) possède au moins un facteur impair. Ah ! Ainsi, les nombres qui peuvent s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes possèdent au moins un facteur impair. Les puissances de \(2\) ne peuvent donc pas s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes.

Un exemple numérique est encore bienvenu. Dans le tableau ci-dessus, je vois \[34 = 7 + 8 + 9 +10\]un nombre qui s’exprime comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes. On remarque que \begin{align*}34&= 7 + 8 + 9 + 10 \\ \\ &= 7 + (7+1) + (7 + 2) + (7+3)\end{align*}et que si on reprend \((2k + i) \left(\frac{i + 1}{2}\right)\) avec \(k = 7\) et \(i = 3\) on obtient \begin{align*}(2k + i) \left(\frac{i + 1}{2}\right) &= (2(7) + 3)\left(\frac{3 + 1}{2}\right) \\ \\ &=(14 + 3)\left(\frac{4}{2}\right) \\ \\ &=17 \cdot 2\\ \\ &=34\end{align*}

En résumé, les puissances de \(2\), les seuls nombres qui ne comportent aucun facteur impair, ne peuvent être exprimés comme une somme d’entiers consécutifs car elles ne peuvent être exprimées avec une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre impair de termes pas plus qu’une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes.

Le nombre de sommes différentes

Enfin, tout cette démarche suggère le corolaire suivant : il y a une façon de moins d’exprimer un nombre comme une somme de nombres entiers consécutifs que ce nombre possède de diviseurs impairs. À titre d’exemple, puisque \(15\) possède quatre diviseurs impairs, c’est-à-dire \(1\), \(3\), \(5\) et \(15\), on peut exprimer \(15\) comme une somme d’entiers consécutifs de \(4-1=3\) façons différentes\begin{align*}15 &= 7 + 8 \\ \\ &=4 + 5 + 6 \\ \\ &=1 + 2 + 3 +4  +5 \end{align*}Le nombre \(18\), quant à lui, possède \(3\) diviseurs impairs, \(1\), \(3\) et \(9\) donc on peut l’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs de \(3-1=2\) façons différentes\begin{align*}18&=5 + 6 + 7 \\ \\ &=3 + 4 + 5 + 6\end{align*}qu’on trouverait en effectuant\begin{align*}18 &=3 \times 6 \\ \\ &=6 + 6 + 6 \\ \\ &=(6-1) + 6 + (6+1) \\ \\ &= 5 + 6 + 7\end{align*}et \begin{align*}18&=9\times 2\\ \\ &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \\ \\ &=(2-4) + (2-3)+(2-2) + (2-1) + 2 + (2 +1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2+ 4) \\ \\ &=(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \\ \\ &= \textcolor{Red}{(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2} + 3 + 4 + 5 + 6 \\ \\ &= \textcolor{Red}{0} + 3 + 4 + 5 + 6 \\ \\  &= 3 + 4 + 5 + 6\end{align*}

La raison pour laquelle on enlève \(1\) au nombre de diviseurs impairs est que tous les nombres se divisent par le nombre impair \(1\) et l’utilisation de ce facteur dans la démarche précédente mène à la « somme » triviale \[k = 1\times k  = k\]une « somme » à un terme. Avec \(18\), on aurait \begin{align*}18 &= 1 \times 18\\ \\  &= 18\end{align*}

La solution au problème initial

Le nombre \(2\,021\), impair, n’est clairement pas une puissance de \(2\). Il n’a malheureusement pas de petit facteur premier, des facteurs pour lesquels on connaîtrait un critère de divisibilité, par exemple. Puisque \(\sqrt{2\,021}\approx 44,\!9555\), on doit chercher du côté des nombres premiers inférieur à \(45\). Il y en a \(14\). Ils sont \[2, \, 3,\,5,\, 7, \, 11,\, 13,\,  17,\, 19, \, 23, \, 29, \, 31, \, 37, \, 41,\, 43\]Si on enlève les facteurs \(2\), \(3\) et \(5\), il en reste \(11\) à vérifier. Comble de malchance, c’est le dernier facteur de la liste, \(43\), qu’on cherche. \[2\, 021 = 43 \times 47\]Le nombre \(2\,021\) est donc le produit de deux nombres premiers, \(43\) et \(47\). Il a donc quatre diviseurs impairs, \(1\), \(43\), \(47\) et \(2\,021\). Et il y a donc \(4-1=3\) façons de l’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs.\[2\,021 = 1\,010 + 1\,011\]est la première, trouvée au début du billet. Les deux autres sont \begin{align*}2\,021 &= 43 \times 47 \\ \\ &= \underset{43 \text{ fois}}{\underbrace{47 + 47 + \ \dots \ + 47 + 47 + 47 + \ \dots \ + 47 + 47}} \\ \\ &= (47-21) + (47-20) + \, \dots \, + (47-1) + \! \! \! \underset{22^{\text{e}} \text{ terme}}{\underbrace{47}}\! \! \! + (47 + 1) + \, \dots \, + (47 + 20) + (47 + 21) \\ \\ &= 26 + 27 + 28 + \ \dots \ + 42 + 43 + 44 + \ \dots \ + 66 + 67 + 68 \end{align*} et \begin{align*}2\,021 &= 47 \times 43 \\ \\ &= \underset{47 \text{ fois}}{\underbrace{43 + 43 + \ \dots \ + 43 + 43 + 43 + \ \dots \ + 43 + 43}} \\ \\ &= (43-23) + (43-22) +\, \dots \, + (43-1) +\! \! \! \underset{24^{\text{e}} \text{ terme}}{\underbrace{43}}\! \! \! + (43 + 1) + \dots + (43 + 22) + (43 + 23) \\ \\ &= 20 + 21 + 22 + \, \dots \, + 46 + 47 + 48 + \ \dots \ + 64 + 65 + 66 \end{align*}