Author: The Dude

On considère deux angles non nuls \(x\) et \(y\) tels que \[0< x + y<\pi\]

\[(\text{Aire du }  \triangle ABC) = (\text{Aire du } \triangle BCD) + (\text{Aire du } \triangle ACD)\]

En utilisant la formule trigonométrique de l’aire du triangle, on obtient \[\tfrac{1}{2} a  b \sin\left(x+y\right) = \tfrac{1}{2}a h\sin\left(x\right) + \tfrac{1}{2}  b h \sin\left(y\right)\]

Dans le triangle \(BCD\), on a aussi \[\cos(x) = \frac{h}{a}\]ou \[h = a \cos(x)\]Dans le triangle \(ACD\), on a \[\cos(y) = \frac{h}{b}\]ou \[h = b \cos(y)\]

L’astuce est de remplacer \(h\) dans\[\tfrac{1}{2} a  b\sin\left(x+y\right) = \tfrac{1}{2}a h\sin\left(x\right) + \tfrac{1}{2}  b h  \sin\left(y\right)\]tantôt par \(b \cos(y)\), tantôt par \(a \cos(x)\).

\begin{align*}\tfrac{1}{2} a b  \sin\left(x+y\right) &= \tfrac{1}{2}a b \cos(y) \sin\left(x\right) + \tfrac{1}{2} b  a \cos(x) \sin\left(y\right) \\ \\ &=\tfrac{1}{2}ab\left(\sin(x)\cos(y) + \sin(y)\cos(x)\right) \end{align*}

Il ne reste qu’à diviser les deux côtés par \(\frac{1}{2} ab\) pour obtenir \[\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \sin(y)\cos(x)\]

On avait déjà vu ici cette image :

Le triangle est rectangle car la relation de Pythagore est vérifiée : \begin{align*}\left(2\sqrt{ab}\right)^{2} + \left(\left|a-b\right|\right)^{2} &= \left(2\sqrt{ab}\right)^{2}+\left(a-b\right)^{2} \\ \\ &= 4ab + a^{2}-2ab+b^{2} \\ \\ &= a^{2}+2ab+b^{2} \\ \\ &= \left(a+b\right)^{2}\end{align*}

Les mesures des cathètes étant strictement supérieures à celle de l’hypoténuse, on trouve \[a+b > 2\sqrt{ab}\]ou, en divisant par \(2\), \[\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}\]On peut vérifier qu’on a l’égalité \[\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\]si \(a = b\).

Voici une autre « preuve sans mots ».

Le cercle de diamètre \(\textcolor{Blue}{a} + \textcolor{Red}{b}\) a un rayon \(\textcolor{Green}{\frac{a+b}{2}}\). Le grand triangle inscrit est sous-tendu par un diamètre, il est donc rectangle. La hauteur \(\textcolor{Magenta}{h}\) relative à l’hypoténuse est \[\frac{\textcolor{Magenta}{h}}{\textcolor{Blue}{a}}= \frac{\textcolor{Red}{b}}{\textcolor{Magenta}{h}}\]ce qui fait \[\textcolor{Magenta}{h}^{2} = \textcolor{Blue}{a}\textcolor{Red}{b}\]ou \[\textcolor{Magenta}{h} = \textcolor{Magenta}{\sqrt{\textcolor{Blue}{a}\textcolor{Red}{b}}}\]

La mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle étant strictement supérieure à celles de ses cathètes, on a bien \[\textcolor{Green}{\frac{a+b}{2}}>\textcolor{Magenta}{\sqrt{ab}}\]Encore, une fois, on peut vérifier qu’on a l’égalité \[\textcolor{Green}{\frac{a+b}{2}}=\textcolor{Magenta}{\sqrt{ab}}\]si \(a = b\).

Saviez-vous que le verbe soustraire ne peut se conjuguer au passé simple ?

(source : Larousse.fr)

Notons qu’à l’instar des verbes traire, extraire et distraire, soustraire ne se conjugue pas non plus à l’imparfait du subjonctif.

Hélas, avec un verbe d’action mathématique aussi important qui ne peut se conjuguer au passé simple, je crois que je devrai faire une croix sur mes rêves inavoués d’écrire des fanfictions mettant en scène mes mathématiciennes et mathématiciens favoris.

Pourtant, cela ne semble pas gêner ChatGPT une seule seconde. Mince consolation…