Author: The Dude

Si le triangle possède des mesures d’angles entières exprimées en degrés et des mesures de côtés entières, alors le triangle est équilatéral. Autrement, si le triangle n’est pas équilatéral, des mesures de côtés ou d’angles doivent être irrationnelles. Sans trop entrer dans les détails, à titre d’exemple, si les mesures des côtés sont entières (ou même rationnelles), la loi des cosinus \[c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos(C)\]implique que les valeurs des cosinus des angles seront rationnelles. Les seules valeurs rationnelles du cosinus sont \(0\), \(\pm 1\), \(\pm\frac{1}{2}\) (Théorème de Niven). Il est ensuite possible de déduire que seule la valeur de \(\frac{1}{2}\) est acceptable, c’est-à-dire un angle de \(60^{\circ}\).

Close enough is good enough

Cependant, il existe des triangles avec des mesures de côtés ou d’angles (arbitrairement) proches de mesures entières. Pour enseigner la trigonométrie, ça peut être pratique d’avoir sous la main de tels triangles. Ainsi, l’objectif de ce billet n’est rien d’autre que de déposer les résultats d’un script en Python très mal écrit (par moi-même) qui cherche (et trouve, c’est déjà ça) de tels triangles, pour utilisation ultérieure. Bref, si ça peut dépanner quelqu’un…

Ici on trouve des triangles non-isocèles qui ont des mesures de côtés entières et des mesures d’angles en degrés presqu’entières. Sauf erreur, il ne devrait pas y avoir de triangles semblables dans la liste. La majorité des triangles sont des triangles obtusangles, dont certains avec deux (très) petits angles aigus. On y trouve quelques triangles presque rectangles et acutangles.

\[a = \]	\[b = \]	\[c = \]	\[m\angle A \approx\]	\[m\angle B \approx \]	\[m\angle C \approx \]
\[81\]	\[271\]	\[276\]	\[17^{\circ}\]	\[78^{\circ}\]	\[85^{\circ}\]
\[84\]	\[382\]	\[401\]	\[12^{\circ}\]	\[71^{\circ}\]	\[97^{\circ}\]
\[105\]	\[296\]	\[364\]	\[14^{\circ}\]	\[43^{\circ}\]	\[123^{\circ}\]
\[114\]	\[277\]	\[361\]	\[14^{\circ}\]	\[36^{\circ}\]	\[130^{\circ}\]
\[120\]	\[416\]	\[469\]	\[14^{\circ}\]	\[57^{\circ}\]	\[109^{\circ}\]
\[129\]	\[272\]	\[382\]	\[12^{\circ}\]	\[26^{\circ}\]	\[142^{\circ}\]
\[132\]	\[301\]	\[337\]	\[23^{\circ}\]	\[63^{\circ}\]	\[94^{\circ}\]
\[132\]	\[327\]	\[433\]	\[12^{\circ}\]	\[31^{\circ}\]	\[137^{\circ}\]
\[141\]	\[265\]	\[389\]	\[12^{\circ}\]	\[23^{\circ}\]	\[145^{\circ}\]
\[141\]	\[389\]	\[496\]	\[12^{\circ}\]	\[35^{\circ}\]	\[133^{\circ}\]
\[142\]	\[443\]	\[523\]	\[14^{\circ}\]	\[49^{\circ}\]	\[117^{\circ}\]
\[161\]	\[334\]	\[411\]	\[22^{\circ}\]	\[51^{\circ}\]	\[107^{\circ}\]
\[181\]	\[398\]	\[483\]	\[21^{\circ}\]	\[52^{\circ}\]	\[107^{\circ}\]
\[193\]	\[242\]	\[383\]	\[25^{\circ}\]	\[32^{\circ}\]	\[123^{\circ}\]
\[195\]	\[309\]	\[418\]	\[26^{\circ}\]	\[44^{\circ}\]	\[110^{\circ}\]
\[203\]	\[483\]	\[655\]	\[11^{\circ}\]	\[27^{\circ}\]	\[142^{\circ}\]
\[209\]	\[362\]	\[418\]	\[30^{\circ}\]	\[60^{\circ}\]	\[90^{\circ}\]
\[217\]	\[322\]	\[342\]	\[38^{\circ}\]	\[66^{\circ}\]	\[76^{\circ}\]
\[235\]	\[479\]	\[569\]	\[24^{\circ}\]	\[56^{\circ}\]	\[100^{\circ}\]
\[253\]	\[404\]	\[653\]	\[5^{\circ}\]	\[8^{\circ}\]	\[167^{\circ}\]
\[253\]	\[421\]	\[460\]	\[33^{\circ}\]	\[65^{\circ}\]	\[82^{\circ}\]
\[258\]	\[437\]	\[654\]	\[15^{\circ}\]	\[26^{\circ}\]	\[139^{\circ}\]
\[266\]	\[353\]	\[442\]	\[37^{\circ}\]	\[53^{\circ}\]	\[90^{\circ}\]
\[272\]	\[448\]	\[673\]	\[16^{\circ}\]	\[27^{\circ}\]	\[137^{\circ}\]
\[274\]	\[466\]	\[471\]	\[34^{\circ}\]	\[72^{\circ}\]	\[74^{\circ}\]
\[278\]	\[461\]	\[684\]	\[17^{\circ}\]	\[29^{\circ}\]	\[134^{\circ}\]
\[281\]	\[379\]	\[527\]	\[31^{\circ}\]	\[44^{\circ}\]	\[105^{\circ}\]
\[281\]	\[414\]	\[427\]	\[39^{\circ}\]	\[68^{\circ}\]	\[73^{\circ}\]
\[289\]	\[337\]	\[622\]	\[6^{\circ}\]	\[7^{\circ}\]	\[167^{\circ}\]
\[297\]	\[317\]	\[419\]	\[45^{\circ}\]	\[49^{\circ}\]	\[86^{\circ}\]
\[298\]	\[487\]	\[562\]	\[32^{\circ}\]	\[60^{\circ}\]	\[88^{\circ}\]
\[317\]	\[330\]	\[394\]	\[51^{\circ}\]	\[54^{\circ}\]	\[75^{\circ}\]
\[332\]	\[467\]	\[534\]	\[38^{\circ}\]	\[60^{\circ}\]	\[82^{\circ}\]
\[347\]	\[481\]	\[526\]	\[40^{\circ}\]	\[63^{\circ}\]	\[77^{\circ}\]
\[377\]	\[413\]	\[519\]	\[46^{\circ}\]	\[52^{\circ}\]	\[82^{\circ}\]
\[385\]	\[390\]	\[461\]	\[53^{\circ}\]	\[54^{\circ}\]	\[73^{\circ}\]
\[392\]	\[446\]	\[609\]	\[40^{\circ}\]	\[47^{\circ}\]	\[93^{\circ}\]
\[393\]	\[406\]	\[545\]	\[46^{\circ}\]	\[48^{\circ}\]	\[86^{\circ}\]
\[419\]	\[440\]	\[493\]	\[53^{\circ}\]	\[57^{\circ}\]	\[70^{\circ}\]
\[449\]	\[465\]	\[818\]	\[26^{\circ}\]	\[27^{\circ}\]	\[127^{\circ}\]
\[462\]	\[479\]	\[677\]	\[43^{\circ}\]	\[45^{\circ}\]	\[92^{\circ}\]
\[463\]	\[499\]	\[872\]	\[24^{\circ}\]	\[26^{\circ}\]	\[130^{\circ}\]
\[464\]	\[485\]	\[883\]	\[21^{\circ}\]	\[22^{\circ}\]	\[137^{\circ}\]

Alors qu’ici on trouve des triangles non-isocèles qui ont des mesures d’angles entières, la mesure d’un côté entière et les mesures des deux autres côtés presqu’entières. Sauf erreur, il ne devrait pas y avoir de triangles semblables. La recherche par mesures d’angles entières m’a semblée moins fructueuse, mais c’est peut-être une fausse impression. Il me semble y avoir une représentation encore plus marquées des triangles obtusangles avec deux petits angles aigus.

\[a \approx \]	\[b \approx \]	\[c = \]	\[m\angle A = \]	\[m \angle B = \]	\[m \angle C = \]
\[6\]	\[107\]	\[109\]	\[3^{\circ}\]	\[69^{\circ}\]	\[108^{\circ}\]
\[47\]	\[117\]	\[163\]	\[4^{\circ}\]	\[10^{\circ}\]	\[166^{\circ}\]
\[17\]	\[202\]	\[192\]	\[4^{\circ}\]	\[124^{\circ}\]	\[52^{\circ}\]
\[21\]	\[52\]	\[72\]	\[6^{\circ}\]	\[15^{\circ}\]	\[159^{\circ}\]
\[20\]	\[107\]	\[123\]	\[6^{\circ}\]	\[34^{\circ}\]	\[140^{\circ}\]
\[25\]	\[205\]	\[191\]	\[6^{\circ}\]	\[121^{\circ}\]	\[53^{\circ}\]
\[32\]	\[203\]	\[186\]	\[8^{\circ}\]	\[118^{\circ}\]	\[54^{\circ}\]
\[129\]	\[271\]	\[145\]	\[8^{\circ}\]	\[163^{\circ}\]	\[9^{\circ}\]
\[44\]	\[57\]	\[99\]	\[10^{\circ}\]	\[13^{\circ}\]	\[157^{\circ}\]
\[44\]	\[99\]	\[138\]	\[10^{\circ}\]	\[23^{\circ}\]	\[147^{\circ}\]
\[41\]	\[164\]	\[191\]	\[10^{\circ}\]	\[44^{\circ}\]	\[126^{\circ}\]
\[53\]	\[129\]	\[79\]	\[10^{\circ}\]	\[155^{\circ}\]	\[15^{\circ}\]
\[7\]	\[34\]	\[36\]	\[11^{\circ}\]	\[68^{\circ}\]	\[101^{\circ}\]
\[503\]	\[593\]	\[92\]	\[11^{\circ}\]	\[167^{\circ}\]	\[2^{\circ}\]
\[61\]	\[66\]	\[124\]	\[12^{\circ}\]	\[13^{\circ}\]	\[155^{\circ}\]
\[49\]	\[61\]	\[107\]	\[12^{\circ}\]	\[15^{\circ}\]	\[153^{\circ}\]
\[42\]	\[157\]	\[180\]	\[12^{\circ}\]	\[51^{\circ}\]	\[117^{\circ}\]
\[55\]	\[214\]	\[177\]	\[12^{\circ}\]	\[126^{\circ}\]	\[42^{\circ}\]
\[31\]	\[81\]	\[104\]	\[13^{\circ}\]	\[36^{\circ}\]	\[131^{\circ}\]
\[10\]	\[26\]	\[33\]	\[14^{\circ}\]	\[39^{\circ}\]	\[127^{\circ}\]
\[38\]	\[146\]	\[145\]	\[15^{\circ}\]	\[84^{\circ}\]	\[81^{\circ}\]
\[91\]	\[143\]	\[55\]	\[15^{\circ}\]	\[156^{\circ}\]	\[9^{\circ}\]
\[6\]	\[9\]	\[14\]	\[17^{\circ}\]	\[26^{\circ}\]	\[137^{\circ}\]
\[92\]	\[210\]	\[137\]	\[19^{\circ}\]	\[132^{\circ}\]	\[29^{\circ}\]
\[59\]	\[139\]	\[151\]	\[23^{\circ}\]	\[67^{\circ}\]	\[90^{\circ}\]
\[50\]	\[127\]	\[123\]	\[23^{\circ}\]	\[83^{\circ}\]	\[74^{\circ}\]
\[81\]	\[122\]	\[165\]	\[28^{\circ}\]	\[45^{\circ}\]	\[107^{\circ}\]
\[199\]	\[310\]	\[138\]	\[28^{\circ}\]	\[133^{\circ}\]	\[19^{\circ}\]
\[7\]	\[12\]	\[14\]	\[30^{\circ}\]	\[59^{\circ}\]	\[91^{\circ}\]
\[4\]	\[7\]	\[8\]	\[30^{\circ}\]	\[61^{\circ}\]	\[89^{\circ}\]
\[82\]	\[132\]	\[159\]	\[31^{\circ}\]	\[56^{\circ}\]	\[93^{\circ}\]
\[242\]	\[383\]	\[193\]	\[32^{\circ}\]	\[123^{\circ}\]	\[25^{\circ}\]
\[47\]	\[68\]	\[84\]	\[34^{\circ}\]	\[54^{\circ}\]	\[92^{\circ}\]
\[115\]	\[149\]	\[199\]	\[35^{\circ}\]	\[48^{\circ}\]	\[97^{\circ}\]
\[33\]	\[43\]	\[56\]	\[36^{\circ}\]	\[50^{\circ}\]	\[94^{\circ}\]
\[77\]	\[114\]	\[126\]	\[37^{\circ}\]	\[63^{\circ}\]	\[80^{\circ}\]
\[296\]	\[364\]	\[105\]	\[43^{\circ}\]	\[123^{\circ}\]	\[14^{\circ}\]
\[309\]	\[418\]	\[195\]	\[44^{\circ}\]	\[110^{\circ}\]	\[26^{\circ}\]
\[22\]	\[31\]	\[20\]	\[45^{\circ}\]	\[95^{\circ}\]	\[40^{\circ}\]
\[1269\]	\[1325\]	\[88\]	\[49^{\circ}\]	\[128^{\circ}\]	\[3^{\circ}\]
\[235\]	\[303\]	\[158\]	\[50^{\circ}\]	\[99^{\circ}\]	\[31^{\circ}\]
\[950\]	\[1063\]	\[194\]	\[50^{\circ}\]	\[121^{\circ}\]	\[9^{\circ}\]
\[398\]	\[483\]	\[181\]	\[52^{\circ}\]	\[107^{\circ}\]	\[21^{\circ}\]
\[288\]	\[316\]	\[55\]	\[55^{\circ}\]	\[116^{\circ}\]	\[9^{\circ}\]
\[223\]	\[261\]	\[92\]	\[56^{\circ}\]	\[104^{\circ}\]	\[20^{\circ}\]
\[416\]	\[469\]	\[120\]	\[57^{\circ}\]	\[109^{\circ}\]	\[14^{\circ}\]
\[122\]	\[129\]	\[118\]	\[59^{\circ}\]	\[65^{\circ}\]	\[56^{\circ}\]
\[265\]	\[306\]	\[153\]	\[60^{\circ}\]	\[90^{\circ}\]	\[30^{\circ}\]
\[327\]	\[356\]	\[77\]	\[62^{\circ}\]	\[106^{\circ}\]	\[12^{\circ}\]
\[891\]	\[920\]	\[145\]	\[74^{\circ}\]	\[97^{\circ}\]	\[9^{\circ}\]
\[1716\]	\[1731\]	\[62\]	\[75^{\circ}\]	\[103^{\circ}\]	\[2^{\circ}\]
\[128\]	\[129\]	\[38\]	\[80^{\circ}\]	\[83^{\circ}\]	\[17^{\circ}\]
\[2172\]	\[2188\]	\[153\]	\[82^{\circ}\]	\[94^{\circ}\]	\[4^{\circ}\]
\[503\]	\[504\]	\[114\]	\[83^{\circ}\]	\[84^{\circ}\]	\[13^{\circ}\]
\[593\]	\[596\]	\[114\]	\[83^{\circ}\]	\[86^{\circ}\]	\[11^{\circ}\]
\[408\]	\[409\]	\[57\]	\[85^{\circ}\]	\[87^{\circ}\]	\[8^{\circ}\]

On a vu dans ce billet que le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire \(t_{n}\) correspond à la somme des \(n\) premiers entiers. \[t_{n}= \frac{n(n+1)}{2}\]

Les premiers nombres triangulaires

Qu’obtient-on si on renchérit et qu’on s’intéresse à la somme des \(n\) premiers nombres triangulaires  \[ t_{1}+t_{2} + t_{3} \, + \, \dots \, + \, t_{n} = 1 + 3 + 6\, + \, \dots \, +\, \frac{n(n+1)}{2}\] Géométriquement, on obtient un nombre tétraédrique (ou nombre pyramidal triangulaire). On note le \(n^{\text{e}}\) nombre tétraédrique \(P^{(3)}_{n}\).

Les nombres tétraédriques

Le troisième nombre tétraédrique, \(P^{(3)}_{3} = 10\)

La table de valeurs suivante présente les premiers nombres tétraédriques.

\[n\]	\[P^{(3)}_{n}\]
\[1\]	\[1\]
\[2\]	\[4\]
\[3\]	\[10\]
\[4\]	\[20\]
\[5\]	\[35\]
\[6\]	\[56\]
\[7\]	\[84\]
\[8\]	\[120\]
\[9\]	\[165\]
\[10\]	\[220\]
\[\dots\]	\[\dots\]

Quelle expression simplifiée correspond au \(n^{\text{e}}\) nombre tétraédrique ? Dans The Book of Numbers, Conway et Guy [1] proposent une façon simple et ingénieuse de procéder. Il suffit de considérer trois fois le nombre tétraédrique, c’est-à-dire trois fois la somme des nombres triangulaires. En présentant ces nombres de manière ingénieuse et en additionnant terme à terme, on obtient le résultat recherché sans effort.

Dans l’image ci-dessous, on le fait pour \(n = 6\).

Considérons un des termes de l’égalité. On appelle \(a_{(i,j)}\) le \(j^{\text{e}}\) nombre (en partant de la gauche) du \(i^{\text{e}}\) étage (en partant du haut) d’un des termes.

Dans le premier triangle du membre de gauche, \(a_{(i,j)}\) est simplement \(j\). Dans le deuxième triangle, c’est \(i+1-j\), et dans le troisième triangle, c’est \(n+1-i\).

Puisque\[j + i + 1-j + n+1-i = n+2\]en additionnant les nombres \(a_{(i,j)}\) des trois triangles terme à terme, on obtient le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire de fois le nombre \(n+2\) (le membre de droite de l’égalité). Dans l’exemple, \(n + 2 = 6+2 = 8\). Ainsi, \begin{align*}3\cdot P^{(3)}_{n} &= 3\left(t_{1}+t_{2} + t_{3}+ \, \dots \, + t_{n}\right) \\ \\ &=t_{n} \cdot (n+2) \\ \\ &= \frac{n(n+1)}{2} \cdot (n+2)\end{align*}En divisant par \(3\), on obtient l’expression recherchée \[P^{(3)}_{n} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\]

 

[1] The Book of Numbers, Conway, John H. and Richard Guy, 1996, Copernicus New York.

Un ancien élève m’a demandé pourquoi sur sa calculatrice, peu importe le nombre qu’il entre, s’il appuie une nombre suffisant de fois sur la touche racine carrée, il finit toujours par obtenir \(1\). Cette publication lui est adressée et fait suite à notre discussion.

Je lui ai d’abord fait remarquer que s’il entre \(0\) comme nombre de départ, il obtiendra \(0\) en appuyant sur la racine carrée (autant de fois qu’il le désire) et non \(1\). Et s’il entre un nombre négatif…

Cela étant dit, si on restreint notre choix de nombre de départ aux nombres strictement positifs, il est vrai qu’on se rapproche aussi près de \(1\) que voulu.

Déplacez le point bleu afin de choisir le nombre de départ.

Une discussion pertinente sur le nombre de chiffres retenus en mémoire par la calculatrice (qui est généralement différent du nombre de chiffres affichés par l’écran de la calculatrice) et la précision des calculs faits par celle-ci s’en est suivie. La calculatrice affiche \(1\) après un certain nombre d’étapes, car elle n’a pas en mémoire une précision arbitraire de chiffres après la virgule : en réalité, on n’atteint pas \(1\), on ne fait que s’en approcher. Ainsi, après de nombreuses étapes, la différence entre la vraie valeur et \(1\) est si petite que la calculatrice n’y voit que du feu : elle affiche \(1\). Grâce à une petite série de calculs simples, nous avons découvert que la calculatrice de l’élève affiche \(10\) chiffres mais semble en garder en mémoire \(12\).

En étudiant séparément les cas où \(0<x<1\) et \(1<x\) et on considérant l’effet de la racine carrée sur \(x\), on arrive à se convaincre intuitivement. Cela dit j’étais un peu embêté d’en discuter sur le champs avec l’élève avec un peu plus de rigueur. Voici peut-être deux approches un peu plus rigoureuses qui ont un certain mérite, sans toutefois tomber dans des considérations pointues de continuité qui seraient considérées dans un cours d’analyse.

La racine carrée comme exposant

Puisque \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), on peut poser \[f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\] puis \begin{align*}f_{(2)}(x) &= \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 2}}}\end{align*}  \begin{align*}f_{(3)}(x) &= \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = \left(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 3}}}\end{align*} et plus généralement \begin{align*}f_{(n)}(x) &= \underset{n\text{ racines}}{\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\dots \sqrt{\sqrt{x}}}}}}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}}\end{align*}Ainsi, si \(x \neq 0\), on trouve \begin{align*}\lim_{n \to \infty}f_{(n)}(x) &= \lim_{n \to \infty}x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}} \\ \\ &= x^{0}\\ \\ &= 1\end{align*}

 

Une simple inéquation

Si \(x>0\), bien sûr \(\frac{x^{2}}{4}>0\), et on a \[1 + x < 1 + x + \frac{x^{2}}{4} = \left(1+\frac{x}{2}\right)^{2}\]Ainsi, en extrayant la racine carrée de chaque côté, \[\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}\]En posant \(y = 1+x\) ou, de manière équivalente, \(x = y-1\), et puisque \(x>0\), pour \(y>1\), on obtient \[\sqrt{y} < 1 + \frac{y-1}{2}\]Cela veut donc dire qu’à chaque itération, la distance entre la valeur de la racine carrée de \(y\) et \(1\) diminue de plus de moitié. Avec les racines successives, on s’approche donc arbitrairement près de \(1.\)

Par exemple, si le nombre de départ est \(49\), alors on est certain de se rapprocher de \(1\) de plus de \[\frac{49-1}{2} = \frac{48}{2} = 24\]Ainsi, \[\sqrt{49}<49-24 = 25\]Bien sûr ce n’est qu’une borne supérieure, en réalité dans cet exemple, la distance diminue de pas mal plus que \(24\) car on sait tous que \(\sqrt{49} =7<25\). Si le nombre de départ est \(10\), alors la distance diminue de plus de \[\frac{10-1}{2} = \frac{9}{2} = 4,\!5\]Effectivement, \[\sqrt{10} \approx 3,\!162 < 10-4,\!5 = 5,\!5\]En extrayant à nouveau la racine carrée, on coupe à nouveau cette distance de plus de moitié et avec les racines itérées, on peut s’approcher arbitrairement près de \(1\).

Le lecteur aguerri aura remarqué qu’il s’agit en fait de manière déguisée de l’inégalité des moyennes arithmétique et géométrique pour deux nombres \[G\leq A\]qui stipule que pour deux nombres positifs \(a\) et \(b\), \[\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\]avec égalité si et seulement si \(a = b\). Il suffit de considérer les valeurs \(a = 1\) et \(b = y>1\) à chaque itération : la moyenne géométrique de \(1\) et de \(y\) est strictement inférieure à la moyenne arithmétique entre \(1\) et ce même nombre : \begin{align*}\sqrt{1\cdot y}&< \frac{1+y}{2} \\ \\ &<\frac{2+1+y-2}{2} \\ \\ &<1+\frac{y-1}{2}\end{align*}Ainsi, puisque \(y>1\), on a \[1<\sqrt{y} <\frac{1+y}{2}\]et une petite réflexion nous convainc que \[1 <\sqrt{\sqrt{y}}<\frac{1+\sqrt{y}}{2}<\sqrt{y}<\frac{1+y}{2}\]

Qu’arrive-t-il si \(0<y<1\) ? C’est moins joli mais il est possible de réduire le cas à celui de \(\frac{1}{y}>1\) car \[\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}\]Puisque les racines itérées de \(\sqrt{\frac{1}{y}}\) s’approche de \(1\), celles de \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) aussi. Et si \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) tend vers \(1\), alors \(\sqrt{y}\) également !