En français, on dit que le nombre 0 est un nombre (le seul) à la fois positif et négatif.  On appelle {0, 1, 2, 3, 4, …} l’ensemble des entiers positifs et {…, -4, -3, -2, -1, 0} l’ensemble des entiers négatifs.    Les francophones ont un mot pour exclure le 0 de ces ensembles : l’adverbe strictement.  L’ensemble des entiers strictement positifs correspond à {1, 2, 3, 4, …} et l’ensemble des entiers strictement négatifs correspond à {…, -4, -3, -2, -1}.

Il y a chez les anglophones une différence fondamentale par rapport au français en ce qui concerne les mots “positif” et “négatif” que l’on pourrait traduire erronément par positive et negative .  En anglais, le nombre zéro est un nombre (le seul) qui n’est ni “positif” ni “négatif”.  En anglais, donc, l’ensemble des positive integers correspond à {1, 2, 3, 4, …}, sans le zéro, et l’ensemble des negative integers correspond à {…, -4, -3, -2, -1}, sans le zéro.  Et à l’instar des francophones, les anglophones ont des mots pour exclure inclure le zéro : puisqu’il n’est ni positif ni négatif, on appelle l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, …} celui des non-negative integers et l’ensemble {…, -4, -3, -2, -1, 0} celui des non-positive integers.  Il faut donc traduire “positif” par non-negative et “negatif” par non-positive.

La prudence est donc de mise lorsqu’on lit un texte mathématique dans une autre langue : les énoncés

Soit x un nombre réel positif

et

Let x be a positive real number

n’ont pas la même signification !  Je ne sais pas d’où vient cette différence.  Je ne sais pas non plus ce qu’il en est dans d’autres langues.  Par exemple, dans quelles langues est-ce que zéro est considéré comme positif et négatif ? Comme ni l’un ni l’autre ?

PS. Il y a bien sûr plusieurs autres différences auxquelles on peut s’attarder, mais celle de la nature du zéro est particulièrement intéressante.  Pour un francophone, il est facile de croire, à tort, que l’ensemble des non-negative integers correspond à {1, 2, 3, 4, …} puisque pour lui, zéro est aussi négatif !