Voici une petite contradiction classique concernant la dénombrabilité des réels.  Comme le mentionne Dominik dans les commentaires, cela fait changement de la diagonale de Cantor.

 

On considère l’infinité des nombres réels situés entre 0 et 1.  Supposons que l’on puisse les répertorier et les mettre sur une liste (elle-même infinie), c’est-à-dire les dénombrer

Sur la droite réelle, on décide de recouvrir a0 d’un segment de longueur 1/3.  On recouvre ensuite a1 d’un segment de longueur 1/9.  Puis on recouvre a2 d’un segment de longueur 1/27.   En général, on recouvre le an point d’un segment de longueur

Et on continue de recouvrir de la sorte tous les points entre 0 et 1.  Il y aura fort probablement des “recouvrements” entre les segments mêmes mais cela ne pose aucun problème.  Il est aussi possible que des parties de certains de ces segments se retrouvent à l’extérieur de l’intervalle et cela non plus ne cause aucun problème.

 

En outre, le segment entre 0 et 1 (au complet et même possiblement un peu plus) sera donc recouvert.

Les cinq premiers nombres réels (par exemple) de notre longue liste et les segments qui les recouvrent.

 

Quelle est la longueur totale de ces segments mis bout à bout ?  La longueur totale correspond à la série géométrique de raison 1/3 suivante

La longueur totale est égale à 1/2 ! Est-il donc possible de recouvrir complètement le segment [0, 1] de segments dont la longueur totale n’est que de 1/2 ?  L’hypothèse de départ, à savoir qu’il est possible de répertorier et faire une liste de tous les réels compris entre 0 et 1 est fausse !  Il est donc impossible de dénombrer les nombres réels.

Il est cependant possible de recouvrir de la sorte (sans contradiction) un ensemble dénombrable.  La longueur des segments peut être choisie arbitrairement petite et incidemment la somme de ces longueurs, la série géométrique, peut être choisie comme arbitrairement petite.  Les mathématiciens disent qu’un ensemble dénombrable a une mesure nulle.