Cet article sur Blogdemaths me rappelle cette histoire de Dennis P. Walsh dans Mathematics Magazine.

Un étudiant de mathématiques monte à bord d’un taxi. Pour entamer la discussion, la chauffeuse[1] de taxi lui demande ce qui l’occupe et lorsqu’il lui répond elle lui dit : “Ah! Très bien ! Écoutez donc ce qui suit.  La dérivée seconde deévaluée en est égale à 1, n’est-ce pas ? Cela implique que 2 est un nombre premier.  L’étudiant réprime un petit rire condescendant à l’endroit de cette chauffeuse de taxi qui s’amuse innocemment avec des mathématiques qu’elle ne comprend pas mais se console et se dit que, au moins, sur le fond, 2 est effectivement un nombre premier.  Cette dernière n’appréciant pas la réaction, elle emprunte un long détour (qui finira par coûter très cher !)  Elle renchérit : “La dérivée troisième deévaluée enest bien égale à 1 n’est-ce pas ? Alors 3 est un nombre premier.  Et la dérivée quatrième deévaluée enn’est pas égale à 1 ! Alors 4 n’est pas un nombre premier…

 

Vous avez sûrement remarqué la régularité.  Elle affirme que pour la fonction g suivante définie pour n > 1si on aalors n est premier et si on aalors n est composé.  Avant de s’attaquer à la preuve de cet énoncé, puisqu’on parle de dérivées seconde, troisième, quatrième et plus, un petit rappel s’impose.  La dérivée de la fonction puissance f

estcette règle étant bien connue des étudiants dès les premiers cours de calcul différentiel.  En appliquant à nouveau la même règle, on obtient pour la dérivée seconde

et en appliquant à nouveau la même règle à répétition, on obtient après n itérations

pour la dérivée nième de la fonction f.  Il est tout à fait pertinent de noter qu’à chaque itération, la fonction puissance perd un degré.  En outre, si α ­­< n, c’est-à-dire que si on dérive la fonction un nombre plus grand de fois que son degré initial, on aura éventuellement que des termes nuls, et donc

Par ailleurs, si α = n, on a exactementc’est-à-dire un terme constant.  Enfin, si α > n, on aura un terme non-nul de degré α – n

L’astuce est d’utiliser le développement en série de la fonction exponentielle

En posant

on obtient

Il est donc possible d’exprimer la fonction g comme

On considère la nième dérivée de g.  On sait que pour kj < n, on obtient des termes nuls.  Pour kj = n, on obtient des termes constants et pour kj ­> n on obtient des termes de degré kjn.  La dérivée est donc

pour chaque kj ≥ n.  Lorsqu’on évalue la fonction en x = 0, tous les termes où kj > n deviennent nuls.  Les seuls termes restants sont les termes constants, c’est-à-dire ceux où kj = n.  On a donc

cette somme étant étendue aux diviseurs k de n (on utilise ici la notation k|n habituelle pour “k divise n“).  En utilisant la définition de factorielle et le fait que k = 1 divise toujours n, on peut réécrire l’expression précédente de manière plus élégante comme

Si n est premier, le seul et unique diviseur k plus petit ou égal à n – 1 est 1.  La somme de droite est donc nulle !  Et on a bien

Si, d’autre part, n est composé, alors il existe au moins deux nombres k et r dans l’intervalle [2, n – 1] qui divisent n.  On peut donc écrire

L’histoire ne dit pas si l’étudiant s’excuse auprès de la dame !

 

 

[1] Apparemment, selon le Petit Robert, le Petit Larousse, Antidote et le Multi-Dictionnaire, le féminin de chauffeur est bien chauffeuse !

Références :

Dennis P. Walsh, Mathematics Magazine, Volume 80, Number 4, October 2007 , pp. 302-303(2)

David M. Bradley, Mathematics Magazine, Volume 82, Number 3, June 2009 , pp. 215-218(4)