Grâce notamment aux logiciels de géométrie dynamique, il est tout à fait remarquable de faire découvrir aux élèves que dans n’importe quel triangle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle et le plus petit côté au plus petit angle.Il est intéressant, à ce moment, de se demander si les côtés opposés et leur angle respectif sont dans le même rapport : en d’autres mots, est-ce qu’onLa réponse est bien entendue négative. En réalité, les côtés opposés sont proportionnels non pas aux angles mais aux sinus des angles. C’est la loi des sinusLa question est :

Que représente ce rapport entre les côtés opposés et les sinus des angles ?

Avant d’y répondre, et à des fins de complétude pour ce blogue, voici la preuve “classique” de la loi des sinus telle que vue généralement en quatrième secondaire. Dans un triangle ABC, on trace la hauteur CD issue de C, que l’on nomme h.On a d’une part,et d’autre part,En comparant les expressions obtenues pour la hauteur, on aou de manière équivalenteet la preuve est essentiellement complète puisqu’il est possible de répéter la manœuvre avec la hauteur relative au côté c. La démarche est la même si l’angle est obtuspuisque dans ce cas, les angles CAD et A sont supplémentaires et les sinus d’angles supplémentaires sont égauxAinsi on a

Maintenant, pour répondre à la question, on considère un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O.  On trace le diamètre CD.

On pose le rayon égal à r.  En d’autres mots,

L’angle CBD est droit puisque le triangle CBD est inscrit dans un cercle et l’un de ses côtés est un diamètre.  On a doncOr, les angles D et A sont isométriques puisqu’ils interceptent le même arc.  En substituant, on obtientou de manière équivalenteEn procédant de façon analogue, en considérant les autres angles, on obtient (le cercle circonscrit au triangle étant unique)et doncce qui complète la preuve.  On sait maintenant que le rapport constant entre les côtés opposés et les sinus des angles dans la loi des sinus est égal au diamètre du cercle circonscrit ! Et encore une fois, si le triangle est obtusangle, comme dansalors pas de problème ! Les angles A et D sont supplémentaires puisqu’ils sont des angles opposés dans un quadrilatère inscrit dans un cercle (Proposition III.22 des Éléments d’Euclide).  Et comme les sinus d’angles supplémentaires sont égaux, on a bien