La formule pour calculer la somme des n premiers entiers est :

Je vous épargne l’histoire, bien connue, du jeune Carl Friedrich Gauss et de sa sommation des 100 premiers entiers… alors qu’il était en sixième année.  La technique employée pour retrouver cette formule est bien connue.  On somme

On permute chacun des termes

Il suffit ensuite d’additionner ces équations terme à terme

Il y a en outre n fois ces termes (n + 1) et en divisant par 2 on obtient

Moins connue est la formule pour calculer la somme des n premiers carrés.  Ou peut-être je m’exprime mal :  la formule en elle-même est connue et, dans la plupart des livres, on fournit même une preuve de sa validité en utilisant le principe d’induction.  Or, pour ce type de preuve, il faut connaître la formule au départ.  Ça prend beaucoup d’intuition pour trouver, en jonglant avec quelques nombres

Une façon d’y arriver est de considérer les sommes des cinq premiers carrés, 1, 5, 14, 30, 55.  On trouve que les bonds entre les bonds entre les bonds sont constants, ce qui est caractéristique d’une fonction polynomiale de degré trois.  En utilisant quatre des ces sommes et en résolvant le système d’équations, on trouve ladite fonction.  Par la suite, il suffit de prouver, par induction, sa validité pour

Je vous propose une autre façon de procéder, beaucoup plus élégante.

Nous allons commencer avec la preuve d’une autre formule, celle de la somme des k premiers impairs, donc sans rapport direct, mais qui utilise, en quelque sorte, la même stratégie.

En étudiant les différences des carrés de nombres entiers successifs suivantes

quelque chose de remarquable apparait ! D’une part, on génère la suite des nombres impairs à droite, d’autre part ces différences de carrés sont égales à la somme des nombres entiers consécutifs considérés

En général, si on pose

(donc le carré de l’entier k – 1 et le carré de l’entier immédiatement supérieur k) on obtient

ce qui donne

ou

C’est bien un nombre impair : que k soit pair ou impair, 2k – 1 est impair.  Et c’est aussi bien la somme des deux nombres entiers consécutifs k + (k – 1).

Quel est la somme des k premiers impairs ?  On pose

et on somme ces égalités jusqu’au k-ième impair

On obtient, à gauche et à droite :

Tous ces termes s’annulant deux-à-deux, sauf le dernier, et c’est là la beauté de la chose, on obtient simplement

La somme recherchée, celle des k premiers impairs, est donc égale au carré de k.

Procédons de façon analogue pour trouver la formule de la somme des n premiers carrés.  On commence par développer

Et puisque

et qu’en général, évidemment,

on remarque que

Nous allons maintenant additionner ces égalités terme à terme.  À gauche, on obtient la somme des n + 1 premiers cubes.  À droite on obtient 4 termes :

La somme des n premiers cubes

Trois fois la somme des n premiers carrés (ce qui, entre autres, nous intéresse)

Trois fois la somme des n premiers entiers

n + 1(et non pas seulement n)

Ensuite,  quatre choses plutôt qu’une :

Les n premiers cubes se simplifient, il reste seulement le cube de n + 1 à gauche

La somme des n premiers carrés étant ce qui nous intéresse, nous appellerons cette somme S.

La somme des n premiers entiers est connue, c’est

n + 1 est simplement n + 1

En tenant compte des points mentionnés ci-dessus, on obtient

puis en développant

Enfin, en isolant 3S, la somme qui nous intéresse

En multipliant par 2, on obtient

et en simplifiant le tout

La formule recherchée se dévoile.  On effectue d’abord la mise en évidence simple

et ensuite la factorisation du trinôme

Enfin, en divisant par 6, on obtient la formule recherchée