Le regretté Samuel L. Greitzer détestait, apparament, ce qu’on appelle les “mathématiques modernes”. Il était farouchement opposé à l’idée d’inclure dans les olympiades mathématiques des problèmes de menteurs et diseurs de vérité (liars and truthtellers), de diagrammes de Venn ou d’arithmétique en bases autres que 10. Son ami Stanley Rabinowitz lui proposa donc, à la blague, ce problème :

Alice et Bob vivent tous les deux dans la petite principauté de Binuméria. Les habitants de Binuméria parlent tous exclusivement le français et disent tous la vérité, toujours. Cependant, ils utilisent deux systèmes de numération et, traditionnellement, lorsqu’ils parlent, les habitants de Binuméria ne changent jamais de base de numération dans une même phrase. Alice dit : “Je suis une grande adepte de la base 10 et je ne parle que dans cette base. Dans la principauté de Binuméria, 26 personnes savent compter en base 10 et seulement 22 personnes savent compter en base 14“. Bob ajoute ensuite : “Des 25 résidents de la principauté, 13 sont numériquement bilingues et 1 seul ne sait compter, il est numériquement analphabète”. Combien de personnes vivent dans la principauté de Binuméria ?

Voyons voir. Bien sûr, Alice ne parle probablement pas en base dix (notre bonne vieille base décimale) parce que, rappelez-vous, toutes les bases sont des bases 10.

base10

Ainsi, si la base d’Alice est a, alors il y a thedudeminds_2013082601
personnes qui peuvent compter, comme elle, en base a. Il y a aussi
thedudeminds_2013082602personnes qui savent compter dans l’autre base, disons la base b. Or, comme Alice dit : “la base 14“, et que le “14” est exprimé en base a, on trouve que la base b correspond en fait àthedudeminds_2013082603

Bob parle dans cette autre base, puisqu’il dit qu’il y a “25” résidents au total, alors qu’Alice comptait déjà “26” personnes et ça, rien que pour sa propre base. On déduit même que la base qu’utilise Bob est plus grande que celle d’Alice. Ainsi Bob utilise la basethedudeminds_2013082603

Toujours selon Bob, il y a thedudeminds_2013082604résidents au total et de ce nombre, thedudeminds_2013082605sont bilingues. On a donc d’abordthedudeminds_2013082606

Il restethedudeminds_2013082607personnes parlant exclusivement en base a et de la même manièrethedudeminds_2013082608personnes parlant exclusivement en base b.thedudeminds_2013082609On peut donc trouver la valeur de a en faisant la somme des habitants de Binuméria à partir des différentes régions du diagramme de Venn ci-dessusthedudeminds_2013082610Cette expression représente le même nombre que le total déjà annoncé par Bobthedudeminds_2013082611ce qui nous donne la base d’Alicethedudeminds_2013082612et aussi la base de Bobthedudeminds_2013082613On peut enfin répondre à la question ! Il y athedudeminds_20130826134personnes qui vivent à Binuméria !

Référence : Joseph D. E. Konhauser, Dan Velleman, Stan Wagon, (1996) Which Way Did the Bicycle Go?