Tu as ta règle ? Alors pas de problème ! Sur chacun des côtés de l’angle, marque un trait à 60 millimètres du sommet. Mesure ensuite la distance en millimètres entre les traits et voilà ! Tu as (une approximation parfaitement acceptable de) la mesure de ton angle en degrés ! Génial ?thedudeminds_2013090303Pourquoi est-ce que ça fonctionne ? On considère un angle α et on procède tel qu’indiqué. En marquant les côtés de l’angle à la même distance (ici, 60 millimètres), on dessine un triangle isocèle. Et comme c’est un triangle isocèle, la bissectrice de l’angle α sera aussi une médiatrice.thedudeminds_2013090415Ainsi, en n’oubliant pas que thedudeminds_2013090413on observe la relation suivante dans les triangles rectangles formés par la bissectrice/médiatricethedudeminds_2013090405et dans laquelle α est exprimé en degrés. Dethedudeminds_2013090404on utilise maintenant deux approximations si grossières qu’elles vous feront perdre, peut-être, tout espoir d’obtenir une expression utile au final. Et pourtant ! D’abord, pour de petits angles (exprimés en radian), on athedudeminds_2013090406ce qui donne comme première approximationthedudeminds_2013090409et en utilisant (ma parole !)thedudeminds_2013090408on obtient ensuitethedudeminds_2013090410C’est donc avec un certain scepticisme qu’on retrouve effectivementthedudeminds_2013090411Est-ce que l’approximation est fiable ? Le graphique suivant montre la relation entre α (abscisses) et α – s (ordonnées).

thedudeminds_2013090301On remarque que pour des angles entre 0° et (environ) 75°, l’erreur est de moins de 2°. Pas mal ! Après 75°, ça se gâte un peu, et l’erreur culmine avec un maximum d’environ 5° lorsque l’angle est près d’un angle droit. Cependant, toutes proportions gardées, l’erreur de 5° reste quand même relativement petite pour cette approximation très économique.

On peut se demander si 60 a quelque chose de particulier, s’il existe des mesures qui donnent de meilleures approximations. En marquant l’angle à 62 millimètres au lieu de 60, on semble améliorer les choses : on s’assure que l’erreur maximale ne dépasse pas environ 2,4° (au lieu d’un peu plus de 5° comme c’est le cas ici avec 60 millimètres). Bien que 62 millimètres offrent une meilleure garantie sur l’erreur maximale (qu’importe l’angle, c’est moins de 2,4°), on se rend compte que la plupart des angles sont moins précis en utilisant cette mesure. En d’autres mots, avec 62 millimètres, l’erreur maximale est plus petite mais l’erreur moyenne est plus grande.  En fait, la mesure qui offre la plus petite erreur moyenne est… 60 millimètres. Excellent.

En gardant notre mesure de 60 millimètres pour minimiser l’erreur moyenne, peut-on améliorer notre approximation sans trop compliquer les choses ? On propose d’utiliser une règle simple :  en bas de 60°, on soustrait 1, en haut de 60° on ajoute 2,5.

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En bleu, α – s avec ajustement.

Référence : Travis Kowalski,  College Mathematics Journal, Volume 39, Number 4, September 2008 , pp. 273-279