Les enseignants de quatrième secondaire débutent souvent l’année avec le chapitre sur la factorisation. Voici une question sur laquelle je suis tombé en parcourant /r/learnmath : Factorisez
Le polynôme a une allure parfaitement inoffensive, on peut le considérer comme un polynôme du deuxième degré en x2. La réponse attendue : on peut effectuer le changement de variable suivant
et factoriser le trinôme
Or, le discriminant étant négatif
ce dernier polynôme ne se factorise pas ! Oups ! Conclusion (erronée) : le polynôme du départ ne se factorise pas.
Le problème est que, dans les réels, il existe des facteurs “premiers” du premier et du deuxième degré. Ainsi, un polynôme de degré 4 peut posséder (distincts ou non) 4 facteurs du premier degré, 2 facteurs du premier degré et un du deuxième ou deux facteurs du deuxième degré. C’est bien sûr le troisième cas qui nous intéresse ici et qui cause problème. Il est d’ailleurs facile de vérifier que 
Un produit de deux trinômes irréductibles ! Comment, alors, arriver à une telle conclusion ? Pour ce cas précis, on peut cherchet à retrouver une différence de carrés. Et pour ce faire, on commence par “compléter le carré” en ajoutant un terme en x2. On obtient
ce qui fait en factorisant le trinôme carré parfait
Et voilà ! Le deuxième terme étant lui-même un carré
on obtient une expression qui se factorise facilement
À ce moment, le lecteur reste peut-être sur sa faim : ça semble trop beau, les coefficients ont dû être choisis exprès ! En partant de
on peut vérifier les étapes suivantes
qui mènent, toujours dans ce cas-ci, à la bonne factorisation.
En continuant la démarche de l’enseignant, et en prenant un petit détour par les complexes, il est aussi possible d’arriver à la factorisation demandée. Trouver les racines complexes d’un polynôme du quatrième degré est en général une tâche fort fastidieuse, mais dans le cas de polynôme du typec’est long mais plutôt facile. En changeant la variableon obtientce qui nous donne comme racines
c’est-à-dire
On obtient donc comme racines du polynôme initial
En considérant la première de ces quatre racines
et en posant
on obtient
En élevant au carré on a
duquel on tire un système d’équations
qu’on peut réécrire comme
et qui nous donne
On peut donc réécrire la première racine comme
et de manière analogue, les trois autres racines
Ainsi, lorsqu’on factorise (dans les complexes) : 
et qu’on remarque que
on obtient, en pairant les facteurs du premier degré deux à deux,
c’est-à-dire le résultat recherché
Sincèrement très amusant.
Ces manipulations algébriques sont tout à fait charmantes.
Dommage qu’on en fasse si peu par ici.
October 1, 2013 @ 11:33 pm
Savez-vous que cet équation est tombée au baccalauréat de mathématiques série S en France ? Vous êtes un visionnaire!
June 20, 2014 @ 9:56 am
cette* évidemment… et je précise, au baccalauréat de 2014!
June 20, 2014 @ 9:57 am
Ah ah !
Dans ce cas il faudrait changer le titre… Petit exercice pour donner un peu de mal aux étudiants au baccalauréat de mathématiques série S !
June 22, 2014 @ 12:39 pm