Les enseignants de quatrième secondaire débutent souvent l’année avec le chapitre sur la factorisation. Voici une question sur laquelle je suis tombé en parcourant /r/learnmath : Factorisez

thedudeminds_2013092301Le polynôme a une allure parfaitement inoffensive, on peut le considérer comme un polynôme du deuxième degré en x2. La réponse attendue : on peut effectuer le changement de variable suivantthedudeminds_2013092302et factoriser le trinômethedudeminds_2013092303Or, le discriminant étant négatifthedudeminds_2013092304ce dernier polynôme ne se factorise pas ! Oups ! Conclusion (erronée) : le polynôme du départ ne se factorise pas.

Le problème est que, dans les réels, il existe des facteurs “premiers” du premier et du deuxième degré. Ainsi, un polynôme de degré 4 peut posséder (distincts ou non) 4 facteurs du premier degré, 2 facteurs du premier degré et un du deuxième ou deux facteurs du deuxième degré. C’est bien sûr le troisième cas qui nous intéresse ici et qui cause problème. Il est d’ailleurs facile de vérifier que thedudeminds_2013092305Un produit de deux trinômes irréductibles ! Comment, alors, arriver à une telle conclusion ? Pour ce cas précis, on peut cherchet à retrouver une différence de carrés. Et pour ce faire, on commence par “compléter le carré” en ajoutant un terme en x2. On obtientthedudeminds_2013092306ce qui fait en factorisant le trinôme carré parfaitthedudeminds_2013092307Et voilà ! Le deuxième terme étant lui-même un carréthedudeminds_2013092308on obtient une expression qui se factorise facilementthedudeminds_2013092309

À ce moment, le lecteur reste peut-être sur sa faim : ça semble trop beau, les coefficients ont dû être choisis exprès ! En partant dethedudeminds_2013092312on peut vérifier les étapes suivantes

thedudeminds_2013092601qui mènent, toujours dans ce cas-ci, à la bonne factorisation.

En continuant la démarche de l’enseignant, et en prenant un petit détour par les complexes, il est aussi possible d’arriver à la factorisation demandée. Trouver les racines complexes d’un polynôme du quatrième degré est en général une tâche fort fastidieuse, mais dans le cas de polynôme du typethedudeminds_2013092301c’est long mais plutôt facile. En changeant la variablethedudeminds_2013092302on obtientthedudeminds_2013092303ce qui nous donne comme racinesthedudeminds_2013092315c’est-à-direthedudeminds_2013092316On obtient donc comme racines du polynôme initialthedudeminds_2013092329En considérant la première de ces quatre racinesthedudeminds_2013092328et en posantthedudeminds_2013092327on obtientthedudeminds_2013092320En élevant au carré on athedudeminds_2013092321duquel on tire un système d’équationsthedudeminds_2013092322qu’on peut réécrire commethedudeminds_2013092323et qui nous donnethedudeminds_2013092324On peut donc réécrire la première racine commethedudeminds_2013092334et de manière analogue, les trois autres racinesthedudeminds_2013092331Ainsi, lorsqu’on factorise (dans les complexes) : thedudeminds_2013092332et qu’on remarque quethedudeminds_2013092333

on obtient, en pairant les facteurs du premier degré deux à deux,

thedudeminds_2013092335

c’est-à-dire le résultat recherchéthedudeminds_2013092336