On considère l’équation polynomiale du deuxième degré suivante

thedudeminds_2013112509

Si le coefficient de x2 est différent de 1, disons a, il suffit, pour obtenir la forme ci-dessus, de diviser chaque terme à gauche et à droite par a. Un tel polynôme, dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1, est dit unitaire (monic polynomial en anglais).

Bref, cette équation possède deux solutions, réelles (distinctes ou non) ou complexes (conjugués l’une de l’autre). On appelle ces deux solutions r et s et on considère l’expressionthedudeminds_2013112502

Si les deux solutions sont réelles et distinctes, alors il est certain quethedudeminds_2013112503

car le carré d’un nombre réel non-nul est toujours strictement positif. Si le polynôme a une solution réelle double, c’est-à-dire si thedudeminds_2013112508alors on a évidemmentthedudeminds_2013112504Enfin, si les deux solutions sont complexes (dans le sens de non réelles), alors on a thedudeminds_2013112505En effet, les deux solutions complexes du polynôme sont les conjugués l’une de l’autre. Ainsi en posant, thedudeminds_2013112506avec t et u réels, on peut calculer thedudeminds_2013112502et obtenirthedudeminds_2013112507ce qui vérifie effectivementthedudeminds_2013112505

puisque u étant non-nul, u2 est strictement positif et –u2 strictement négatif. On peut donc considérer, à juste titre, l’expressionthedudeminds_2013112510

que l’on baptise δ et qui met en vedette les solutions de l’équation, comme un discriminant de l’équation : le signe de  δ détermine si l’équation du départ possède deux solutions réelles distinctes (δ est strictement positif), une solution réelle double (δ est nul) ou deux solutions complexes (δ est strictement négatif).

C’est cependant un peu embêtant de devoir connaître r et s pour découvrir la nature de… r et s. Qui plus est, on connaît notre bon vieux

thedudeminds_2013112511

calculé commodément à partir des coefficients de l’équation initiale. Mais voilà, on peut établir un lien entre δ et Δ. En effet, si r et s sont les solutions, alors notre polynôme unitaire se factorise comme

thedudeminds_2013112501

ce qui donne en développantthedudeminds_2013112512et on trouve ainsithedudeminds_2013112513Par ailleurs, thedudeminds_2013112514et en remplaçant par b et c on obtient thedudeminds_2013112515Ah ! On a doncthedudeminds_2013112516

Fascinant ! L’intérêt de considérer le discriminant sous cette forme est que cette technique s’applique aux équations polynomiales de degrés supérieurs à 2 : on peut donc trouver des discriminants pour ces équations et tirer des informations sur les solutions à partir des coefficients. On considère à titre d’exemple la forme réduite de l’équation polynomiale de degré 3 suivante (au besoin, on peut toujours réduire)thedudeminds_2013120801

C’est aussi une équation unitaire. Cette équation possède 3 solutions réelles distinctes, 2 solutions réelles distinctes (dont une double) ou 1 solution réelle et 2 complexes (toujours dans le sens de non-réelles, et qui sont les conjugués l’une de l’autre).

La méthode “intuitive”

Pour chercher de l’information sur les zéros et en utilisant un minimum (!) de calcul différentiel, on pourrait étudier la fonctionthedudeminds_2013120802Cette équation polynomiale unitaire de degré impair passe du négatif pour des x suffisamment petits au positif pour des x suffisamment grands. Elle possède aussi au plus deux changements de croissance/décroissance.thedudeminds_2013121801L’étude de cette fonction, sans le terme en x2, est par ailleurs assez facile. La dérivée de cette fonction est

thedudeminds_2013120803

En posant la dérivée égale à 0thedudeminds_2013120804

on trouve les abscisses des extrema thedudeminds_2013120805

En posant athedudeminds_2013120806comme la racine positive, on peut déduire les résultats suivants. Si

thedudeminds_2013120807

alors la fonction possède un zéro réel et deux zéros complexes. Sithedudeminds_2013120808

alors la fonction possède deux zéros réels distincts, dont un zéro double. Sithedudeminds_2013120809

alors la fonction possède trois zéros réels distincts. Sithedudeminds_2013120810

alors la fonction possède deux zéros réels distincts, dont un zéro double. Enfin sithedudeminds_2013120811

la fonction possède un zéro réel et deux zéros complexes.

test1graphique

On peut réécrire les cinq cas précédents de manière plus concise en vérifiant que les trois cas suivants sont équivalents. Sithedudeminds_2013121802alors la fonction possède un zéro réel et deux complexes. Sithedudeminds_2013121803alors la fonction possède deux zéros réels distincts, dont un zéro double. Enfin sithedudeminds_2013121804alors la fonction possède trois zéros réels distincts. Pour le calcul de thedudeminds_2013121805il suffit de multiplierthedudeminds_2013121806et de quelques étapes algébriques assez simples mais un peu fastidieusesthedudeminds_2013121807On multiplie par -27, pour des raisons qui ne sont peut-être pas claires. Multiplier par 27, oui, pour se débarrasser du dénominateur, mais -27 ? On obtient

thedudeminds_2013121808On pose :thedudeminds_2013121810notre discriminant, et, puisqu’on a multiplié par un négatif, on change les signes de côté dans les inéquations précédentes. Ainsi, avecthedudeminds_2013120801si

thedudeminds_2013121811

alors l’équation possède une solution réelle et deux solutions complexes. Si thedudeminds_2013121812alors l’équation possède deux solutions réelles distinctes, dont une solution double. Enfin sithedudeminds_2013121813alors l’équation possède trois solutions réelles distinctes.

La méthode des zéros

De manière analogue à ce qu’on avait fait avec l’équation du deuxième degré, on considère l’expressionthedudeminds_2014012018

où rs et t sont les trois solutions à l’équation. Les solutions d’une équation réduite du troisième degré ont la formethedudeminds_2014012001

c’est-à-dire la somme de deux racines cubiques. On posethedudeminds_2013121902

A et B sont les racines cubiques telle que r est réel (il y a toujours au moins une racine réelle). En d’autres mots, on choisit A et B tels que

thedudeminds_2014012002Les deux autres solutions sont

thedudeminds_2013121903et dans lesquellesthedudeminds_2013121905etthedudeminds_2013121906sont les racines cubiques de l’unité. Le calcul de thedudeminds_2013121901peut s’avérer fort fastidieux alors on fait preuve d’astuce. On peut vérifier que

thedudeminds_2014012003et commethedudeminds_2014012004

on peut effectuer une mise en évidence double et trouverthedudeminds_2014012005

De la même manière, on trouvethedudeminds_2014012006

etthedudeminds_2014012007

Enfin, on athedudeminds_2014012008qui donne finalement

thedudeminds_2014012009

Ainsi, en remplaçant dans l’expression de δ,thedudeminds_2014012301 on obtientthedudeminds_2014012011Or commethedudeminds_2014012012l’expression précédente devientthedudeminds_2014012013

Ouf ! En se rappelant que et étaient les racines cubiques, on trouve finalementthedudeminds_2014012015Et c’est non sans un certain plaisir qu’on distribue le -27 à l’intérieur des parenthèses pour obtenirthedudeminds_2014012017le discriminant de l’équation polynomiale réduite du troisième degré. Et encore une fois, on bienthedudeminds_2015042001

Référence : Ron Irving, (2013) Beyond the Quadratic Formula