Le problème était le suivant :

Trouvez l’aire du triangle rectangle ci-dessus (le cercle est inscrit)

thedudeminds_2013120501

La démarche attendue était à peu près celle-ci. Comme les tangentes à un cercle issues d’un même point sont de même longueur, on trouvethedudeminds_2013120502

ce qui nous permet d’établir une équation avec Pythagore.thedudeminds_2013120504

En développant on obtientthedudeminds_2013120505puis en regroupant les termes semblablesthedudeminds_2013120506et enfin en divisant par 2, on trouve un trinôme du deuxième degréthedudeminds_2013120507qui, ô joie, se factorise assez facilementthedudeminds_2013120508

La seule solution sensée pour notre problème est donc

thedudeminds_2013120509et l’aire du triangle rectangle doit êtrethedudeminds_2013120510Hummmm ! Or, thedudeminds_2013120511

 

Hasard ? Oh ! Je ne pense pas ! Il suffit de construire un rectangle à l’aide d’un deuxième triangle isométrique au premier (il existe des preuves algébriques assez simple mais on préfère la très élégante preuve géométrique suivante)

thedudeminds_2013120512et de réarranger un triangle vert et un triangle rouge de manière à obtenir un rectangle équivalent au triangle initial,thedudeminds_2013120513un rectangle d’aire xy. Ainsi, l’aire d’un triangle rectangle est égal au produit xy des longueurs des segments déterminés sur l’hypoténuse par le point de tangence au cercle inscrit.thedudeminds_2013120518

Comment construire d’autres exemples (avec des nombres entiers) ? L’exemple du début de l’article était-il difficile à construire, était-il rare ? La réponse est non. On sait comment générer des triplets pythagoriciens, et, sans devoir s’en tenir aux triplets primitifs, il suffit de choisir a ­> b entiers et poser

thedudeminds_2013120512En soustrayant la deuxième équation à la première on obtientthedudeminds_2013120513et en additionnant cette dernière équation à la troisième on obtientthedudeminds_2013120514outhedudeminds_2013120515Cette expression pour x nous permet de trouver l’expression pour ythedudeminds_2013120516et pour z
thedudeminds_2013120517

L’exemple du début de l’article a donc été construit en choisissant a = 7 et b = 2.

 

Référence : Claudi Alsina et Roger B. Nelsen (2013), Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics