Vous résolvez des équations avec des racines carrées et vos élèves sont troublés lorsqu’ils élèvent au carré et insèrent peut-être par le fait même une ou des fausses solutions à l’équation initiale ? Par exemple, pour résoudre

thedudeminds_2014040301on élève au carré pour se débarrasser de la racine carrée à gauche

thedudeminds_2014040302On développethedudeminds_2014040303On regroupethedudeminds_2014040304et on factorisethedudeminds_2014040305

Les solutions à la dernière équations sont -2 et 1. Si 1 est bien une solution de l’équation initiale

thedudeminds_2014040306on ne peut pas en dire autant de -2thedudeminds_2014122001

Lorsqu’on a élevé au carré, une fausse solution, -2, s’est insérée. Calamité !

Exemple extrêêêêêêême

L’intrigue se corse. On veut résoudrethedudeminds_2014032701

une expression aux allures certainement plus menaçantes. On cherchera néanmoins à éliminer les racines. En élevant au carré on obtientthedudeminds_20140407062

qu’on simplifie en regroupant les termes semblablesthedudeminds_2014040801ou de manière équivalente

thedudeminds_20140407063En divisant par 2

thedudeminds_20140407064

et en élevant au carré pour se débarrasser de la racine à gauche, on obtientthedudeminds_20140407066

ou en regroupant les termes semblables

thedudeminds_20140407067

Dans l’espoir de regrouper les racines de x – 1, on développe le produit à gauchethedudeminds_20140407069

puis on regroupe les termes semblables à gauche,thedudeminds_2014040708
et là, ô surprise, une identité ! Vraie pour tout x. On a élevé au carré, certes, mais on ne fait quand même pas dans la sorcellerie ! Une identité ! Que s’est-il passé ?

La clé de l’énigme consiste à remarquer quethedudeminds_2014032707etthedudeminds_2014032708c’est à dire que l’équation initiale est équivalente àthedudeminds_2014040701ou, exprimée avec des valeurs absolues, à

thedudeminds_2014032709

Maintenant, pour des valeurs de x telles quethedudeminds_2014032710

l’expressionthedudeminds_2014032712est négative et pour des valeurs de telles quethedudeminds_2014032711l’expressionthedudeminds_2014032712est positive. D’autre part, pour des valeurs de x telles quethedudeminds_2014032713l’expressionthedudeminds_2014032715est négative et pour des valeurs de x telles quethedudeminds_2014032714l’expressionthedudeminds_2014032715est positive. Ainsi, il y a trois cas à traiter. D’abord si

thedudeminds_2014040308

les deux expressions sont négatives et pour se débarrasser des valeurs absolues on posethedudeminds_2014032716ce qui faitthedudeminds_2014032717

puis en divisant par -2thedudeminds_2014032718

On trouve ainsi la solutionthedudeminds_2014040702et comme

thedudeminds_2014040310 on accepte cette solution. Le deuxième cas à traiter estthedudeminds_2014040311Dans ce cas, la première expression est positive mais la deuxième est négative. Pour enlever les valeurs absolues, on posethedudeminds_2014040313ce qui fait thedudeminds_2014040314ou, ô surprise,thedudeminds_2014040315une identité ! C’est donc dire que cet intervalle au complet

thedudeminds_2014040311est aussi solution à l’équation. Enfin, le troisième et dernier cas à considérer est

thedudeminds_2014040316

Dans ce cas, les deux expressions sont positives et donc on athedudeminds_2014040317ce qui faitthedudeminds_2014040318puis en divisant par 2thedudeminds_2014040319et là on trouve la solutionthedudeminds_2014040703

Et commethedudeminds_2014040704on accepte cette solution.

thedudeminds_2014040709

L’ensemble solution à l’équation initiale comprend donc tout l’intervalle ferméthedudeminds_2014040705

et comporte ainsi une infinité de solutions. Du coup, la stratégie d’élever au carré pour éliminer les racines produit un polynôme qui comporte au moins autant de solutions que l’équation initiale, c’est-à-dire une infinité, et on obtient ainsi une identité.

Références : Edward J. Barbeau (2013), More Fallacies, Flaws and Flimflam