Vous résolvez des équations avec des racines carrées et vos élèves sont troublés lorsqu’ils élèvent au carré et insèrent peut-être par le fait même une ou des fausses solutions à l’équation initiale ? Par exemple, pour résoudre
on élève au carré pour se débarrasser de la racine carrée à gauche
On développe
On regroupe
et on factorise
Les solutions à la dernière équations sont -2 et 1. Si 1 est bien une solution de l’équation initiale
on ne peut pas en dire autant de -2
Lorsqu’on a élevé au carré, une fausse solution, -2, s’est insérée. Calamité !
Exemple extrêêêêêêême
L’intrigue se corse. On veut résoudre
une expression aux allures certainement plus menaçantes. On cherchera néanmoins à éliminer les racines. En élevant au carré on obtient
qu’on simplifie en regroupant les termes semblables
ou de manière équivalente
En divisant par 2
et en élevant au carré pour se débarrasser de la racine à gauche, on obtient
ou en regroupant les termes semblables
Dans l’espoir de regrouper les racines de x – 1, on développe le produit à gauche
puis on regroupe les termes semblables à gauche,
et là, ô surprise, une identité ! Vraie pour tout x. On a élevé au carré, certes, mais on ne fait quand même pas dans la sorcellerie ! Une identité ! Que s’est-il passé ?
La clé de l’énigme consiste à remarquer que
et
c’est à dire que l’équation initiale est équivalente à
ou, exprimée avec des valeurs absolues, à
Maintenant, pour des valeurs de x telles que
l’expression
est négative et pour des valeurs de x telles que
l’expressionest positive. D’autre part, pour des valeurs de x telles que
l’expression
est négative et pour des valeurs de x telles que
l’expressionest positive. Ainsi, il y a trois cas à traiter. D’abord si
les deux expressions sont négatives et pour se débarrasser des valeurs absolues on pose
ce qui fait
puis en divisant par -2
On trouve ainsi la solution
et comme
on accepte cette solution. Le deuxième cas à traiter est
Dans ce cas, la première expression est positive mais la deuxième est négative. Pour enlever les valeurs absolues, on pose
ce qui fait 
ou, ô surprise,
une identité ! C’est donc dire que cet intervalle au complet
est aussi solution à l’équation. Enfin, le troisième et dernier cas à considérer est
Dans ce cas, les deux expressions sont positives et donc on a
ce qui fait
puis en divisant par 2
et là on trouve la solution
Et comme
on accepte cette solution.
L’ensemble solution à l’équation initiale comprend donc tout l’intervalle fermé
et comporte ainsi une infinité de solutions. Du coup, la stratégie d’élever au carré pour éliminer les racines produit un polynôme qui comporte au moins autant de solutions que l’équation initiale, c’est-à-dire une infinité, et on obtient ainsi une identité.
Références : Edward J. Barbeau (2013), More Fallacies, Flaws and Flimflam
-2 n’est pas solution de la première équation ok mais la vérification contient une erreur, on arrive a 1=-1.
Cordialement.
December 15, 2014 @ 5:05 am
Bien vu Manuel. C’est corrigé !
December 20, 2014 @ 4:45 pm