Le plus grand nombre inférieur à…

Quel est le plus grand nombre réel appartenant à l’intervalle ouvert $\left[0,\ 1\right[$ ?

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Autrement dit, quel est le plus grand nombre réel positif inférieur à 1.  On suppose que ce nombre est connu, et on l’appelle $x$.  On considère le nombre\[y = \frac{x+1}{2}\]

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Puisque\[x<1\]

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il est facile de voir que\[y=\frac{x + 1}{2}<\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1\]thedudeminds_2014120902

c’est-à-dire que\[y \in \left[0, \ 1\right[\]

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Or, il est aussi facile de voir que\[y>x\]

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car toujours avec\[x<1\]2009_12_21_03on a\[y = \frac{x+1}{2}>\frac{x+x}{2} = \frac{2x}{2} = x\]

thedudeminds_2014120901

ce qui contredit notre hypothèse de départ, à savoir que $x$ est le plus grand nombre réel positif inférieur à $1$. Conclusion ? Il n’existe pas de plus grand nombre réel positif inférieur à $1$.

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