Mise en garde riemannienne

J’aurais bien aimé voir ce petit résultat de Bernhard Riemann dans mon cours de calcul intégral au cégep.

La mise en garde concerne la convergence des séries infinies.  Riemann utilise, comme exemple, la série bien connue de Leibniz : \[\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}+\frac{1}{21}-\ \dots\]Il décide de permuter candidement les termes.  Il somme les deux premiers termes positifs puis le premier terme négatif.  Il ajoute ensuite les deux termes positifs suivants puis le terme négatif suivant.  Et ainsi de suite.  Il obtient donc la série :\[\frac{\pi}{4} = 1+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}-\frac{1}{7}+\frac{1}{17}+\frac{1}{21}-\frac{1}{11}+ \ \dots\]En groupant les termes trois à trois,\[\frac{\pi}{4} = \left(1+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{13}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{21}-\frac{1}{11}\right) + \ \dots\]il constate que les sommes partielles sont de la forme \[\frac{1}{8n-7} + \frac{1}{8n-3}-\frac{1}{4n-1}\]avec \(n \in \left\{1,\ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ \dots\right\}\). Il peut évidemment additionner ces trois termes après avoir mis sur dénominateur commun et obtient \[\frac{24n-11}{\left(8n-7\right)\left(8n-3\right)\left(4n-1\right)}\]Mais comme \(n\) est un entier positif, il est facile de voir que le numérateur et le dénominateur seront eux-aussi positifs.  Le quotient est donc un nombre positif.  Puisque \[\frac{24n-11}{\left(8n-7\right)\left(8n-3\right)\left(4n-1\right)}\geq 0\]Riemann pose par la suite l’inégalité suivante \[\frac{\pi}{4} = \left(1+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{13}-\frac{1}{7}\right)+\ \dots \ \geq \left(1+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right) + 0 + 0 + \ \dots\]Où est le problème ? Sachant que \[\left(1 + \frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right) + 0 + 0 + \ \dots \ = \frac{13}{15} \approx 0,\!8666\]et que \[\frac{\pi}{4} \approx 0,\!7854\]il s’agit là d’un résultat fort surprenant !  Riemann a changé la somme de la série en ne faisant que changer l’ordre des termes ! Voilà donc quelque chose de bien embêtant.  Pire !  Il montre plus tard qu’on peut faire converger la série vers une somme arbitrairement choisie !

La série de Leibniz est une série convergente, mais pas absolument convergente.  On dit qu’elle est semi-convergente.  Une série peut contenir des termes négatifs, comme c’est le cas ici (série alternée).  Pour être absolument convergente, il faut que la série des valeurs absolues des termes soit convergente.  En d’autres mots, la série \[\sum_{i=0}^{\infty}u_{i}\]est absolument convergente si la série \[\sum_{i=0}^{\infty}\left|u_{i}\right|\]est convergente.

La série des valeurs absolues de la série de Leibniz est divergente. On pose \[1 +\frac{1}{3}+\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \ \dots \ \geq \ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \ \dots \]et après mise en évidence, on retrouve la série harmonique, bien connue pour sa divergence\[1 +\frac{1}{3}+\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \ \dots \ \geq \ \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \ \dots\right) \]Dirichlet montra plus tard que changer l’ordre des termes d’une série absolument convergente ne change pas sa somme.

Bonus : La divergence de la série harmonique.

Nicole Oresme (1325 – 1382) a fournit une très belle preuve de la divergence de la série harmonique.  C’était en 1350, l’âge de pierre des mathématiques européennes modernes, bien avant (on parle ici de 300 ans) celles des Bernoulli.  Sa preuve est aussi, à mon avis, beaucoup plus claire.

Il construit d’abord cette suite d’inégalités \begin{align*}1 + \frac{1}{2}&>\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \\ \\ 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} +\frac{1}{4}\right) &> 1+ \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{2} \\ \\ 1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} +\frac{1}{8}\right)&>\frac{3}{2} + \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) = \frac{4}{2} \\ \\ 1 + \frac{1}{2} + \ \dots \ + \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \ \dots \ + \frac{1}{16}\right) &> \frac{4}{2}+\left(\frac{1}{16} + \ \dots \ + \frac{1}{16}\right) = \frac{5}{2} \\ \\ &\dots \end{align*}et conclut que \[1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \ \dots \ + \frac{1}{2^{k}} > \frac{k+1}{2}\]Cela nous assure que la série dépassera toujours une quantité aussi grande que désirée (il suffit de choisir correctement \(k\)).

Reférence : John Derbyshire (2003), Prime Obsession

William Dunham (2008), The Calculus Gallery

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