Bonne année 20 + 21 + 22 + … + 64 + 65 + 66 !

Comme souvent, cela commence avec la question d’une élève. Elle disait se préparer pour un concours mathématique.

Je dois exprimer le nombre \(2\,021\) comme une somme d’entiers consécutifs. Je sais bien sûr que \(2\,021 = 1\,010 + 1\,011\) mais dans le problème, ça dit qu’il y a plus que deux termes… Comment faire ?

Cela nous amène à poser la question plus générale : quels nombres entiers peuvent s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs strictement positifs ? Peut-on écrire n’importe quel nombre entier comme une somme d’entiers consécutifs strictement positifs ? Ou y a-t-il des exceptions ? Qu’arrive-t-il si on s’étend aux entiers relatifs ?

Clairement, en se référant au commentaire de l’élève et en extrapolant, tous les nombres impairs (tous ?) peuvent s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs, car si \(n\) est impair, alors \begin{align*} n &= 2k + 1 \\ \\ &= k + k + 1 \\ \\ & = k + (k + 1) \end{align*}avec \(k \in \mathbb{N}^{*}\), ce qui est une somme d’entiers consécutifs.

J’ai dit « tous ? » car le nombre impair \(1\) pose problème. Si on considère \(0\), alors cela fonctionne même pour \(1 = 0 + 1\). En excluant \(0\), cela ne fonctionne pas pour \(1\).

Deux questions subsistent. D’abord, qu’en est-il des nombres pairs ? Ensuite, certains nombres impairs peuvent s’exprimer de plusieurs façons différentes. Par exemple, en cherchant un peu on trouve \begin{align*}15 & = 7 + 8 \\ \\ &= 4 + 5 + 6 \\ \\ &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \end{align*}Pour \(15 = 7 + 8\), ça va, on a élucidé le mystère, mais comment générer les autres façons, y a-t-il une règle ?

Pour les nombres pairs, ça commence mal. Rien à faire avec \(2\), bien évidemment. Et \(4\) ? \[1 + 2 = 3\]Trop petit ! \[2 + 3 = 5\]Trop grand ! Mince. Est-ce impossible d’exprimer les nombres pairs comme une somme d’entiers consécutifs strictement positifs ? Non, car \[6 = 1 + 2 + 3\]Ah ! Mais les réjouissances sont brèves. Ça échoue immédiatement après, avec \(8\). Impossible de l’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs. Le nombre pair suivant, \(10\), par contre, fonctionne. On trouve \[10 = 1 + 2 + 3 + 4\]\(1\), \(2\), \(4\), \(8\) : cela ressemble aux puissances de \(2\). Un petit programme en Python plus tard, et en laissant tourner la machine jusqu’à \(64\), pourquoi pas, on obtient la table suivante (cliquez sur Next et Previous pour naviguer) :

Différentes sommes d'entiers consécutifs
1 = ?
2 = ?
3 = 1 + 2
4 = ?
5 = 2 + 3
6 = 1 + 2 + 3
7 = 3 + 4
8 = ?
9 = 2 + 3 + 4,
9 = 4 + 5
10 = 1 + 2 + 3 + 4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
13 = 6 + 7
14 = 2 + 3 + 4 + 5
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,
15 = 4 + 5 + 6,
15 = 7 + 8
16 = ?
17 = 8 + 9
18 = 3 + 4 + 5 + 6,
18 = 5 + 6 + 7
19 = 9 + 10
20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6,
21 = 6 + 7 + 8,
21 = 10 + 11
22 = 4 + 5 + 6 + 7
23 = 11 + 12
24 = 7 + 8 + 9
25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
25 = 12 + 13
26 = 5 + 6 + 7 + 8
27 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
27 = 8 + 9 + 10,
27 = 13 + 14
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
29 = 14 + 15
30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
30 = 6 + 7 + 8 + 9,
30 = 9 + 10 + 11
31 = 15 + 16
32 = ?
33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
33 = 10 + 11 + 12,
33 = 16 + 17
34 = 7 + 8 + 9 + 10
35 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
35 = 17 + 18
36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,
36 = 11 + 12 + 13
37 = 18 + 19
38 = 8 + 9 + 10 + 11
39 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
39 = 12 + 13 + 14,
39 = 19 + 20
40 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10
41 = 20 + 21
42 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
42 = 9 + 10 + 11 + 12, 42 = 13 + 14 + 15
43 = 21 + 22
44 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,
45 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
45 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
45 = 14 + 15 + 16,
45 = 22 + 23
46 = 10 + 11 + 12 + 13
47 = 23 + 24
48 = 15 + 16 + 17
49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
49 = 24 + 25
50 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12,
50 = 11 + 12 + 13 + 14
51 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
51 = 16 + 17 + 18,
51 = 25 + 26
52 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
53 = 26 + 27
54 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
54 = 12 + 13 + 14 + 15,
54 = 17 + 18 + 19
55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,
55 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13,
55 = 27 + 28
56 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
57 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12,
57 = 18 + 19 + 20,
57 = 28 + 29
58 = 13 + 14 + 15 + 16
59 = 29 + 30
60 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
60 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 ,
60 = 19 + 20 + 21
61 = 30 + 31
62 = 14 + 15 + 16 + 17
63 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11,
63 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 ,
63 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13,
63 = 20 + 21 + 22,
63 = 31 + 32
64 = ?

Le programme, une attaque par force brute, échoue à trouver des sommes pour \(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\) et \(64\) uniquement. Notre conjecture semble tenir bon ! Il reste à savoir pourquoi certains nombres pairs, comme \(6\) ou \(10\), peuvent s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs mais pas les puissances de \(2\). Et y a-t-il d’autres exceptions ? 

Qu’est-ce qui distingue les puissances de \(2\) des autres nombres ? L’absence d’un facteur impair ! La clé est (en partie) là ! Si \(n\) contient au moins un facteur impair, alors on peut écrire \[n = k \cdot i\]où \(i\) est un facteur impair supérieur à \(1\) et \(k\) est composé des facteurs \(2\) et des autres facteurs impairs du nombre, s’il y en a. Cela veut dire que \[n =\underset{i \text{ fois}}{\underbrace{k + k + \ \dots \ + k + k + k + \ \dots \ + k + k}}\]Puisqu’il y a un nombre impair de termes \(k\), il y a en \(i\), il est possible d’identifier le terme du milieu, le \(\frac{i + 1}{2}\)e terme. Pour obtenir ce qu’on cherche, il reste à retrancher \(1\) au terme qui précède, le \(\frac{i + 1}{2} -1 \)e terme et ajouter \(1\) au terme qui suit, le \(\frac{i + 1}{2} + 1\)e terme. Ensuite, on soustrait \(2\) au terme prédécent, le \(\frac{i + 1}{2}-2\)e terme et on l’ajoute au terme suivant, le \(\frac{i + 1}{2}+2\)e terme. On procède ainsi de suite jusqu’au premier terme, duquel on retranche \(\frac{i-1}{2}\), et on ajoute la même chose, \(\frac{i -1 }{2}\), au dernier terme. En d’autres mots, \[n= k+ \ \dots \ +k + k + k + k + k + \ \dots \ + k\] \[n =  \left(k-\frac{i-1}{2}\right) + \ \dots \ + (k-2) + (k-1) + k + (k + 1) + (k + 2) + \ \dots \ + \left(k + \frac{i-1}{2}\right)\]Voilà ! On a une somme d’entiers consécutifs !

Un exemple numérique est de mise. Prenons \(15\), tel que suggéré plus haut. On sait que \(15\) possède des facteurs impairs, en fait \(15 = 3 \times 5\). Ainsi, on pourrait écrire \begin{align*}15 &= 3 \times 5 \\ \\ &= 5 + 5 + 5 \\ \\ &= (5-1) + 5 + (5 + 1) \\ \\ &=4 + 5 + 6\end{align*}On aurait très bien pu choisir l’autre facteur impair \begin{align*}15 &= 5 \times 3 \\ \\ &= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \\ \\ &= (3-2) + (3-1) + 3 + (3+1) + (3 + 2) \\ \\ &=1 + 2 + 3 + 4 + 5\end{align*}Cependant, il y a un danger. C’est possible qu’en soustrayant, on obtienne \(0\) ou même des nombres négatifs. Ce n’est pas grave car la somme d’opposés est nulle. Il sera donc possible d’éliminer tout nombre entier négatif qui ferait son apparition dans la somme. C’est ce qui arriverait avec, par exemple, \(14\). \begin{align*} 14 &= 7 \times 2 \\ \\ &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \\ \\ &= (2-3)+ (2-2) + (2-1) + 2 + (2 + 1) + (2+ 2) + (2 + 3) \\ \\ &= (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ \\ &= \textcolor{Red}{(-1) + 0 + 1} + 2 + 3 + 4 + 5 \\ \\ &= \textcolor{Red}{0} + 2 + 3 + 4 + 5 \\ \\ &=2 + 3 + 4 +5 \end{align*}Et, par ailleurs, c’est ce qui arrive lorsqu’on veut retrouver \(15 = 7 + 8\) avec cette méthode, comme dans \begin{align*}15&= 15 \times 1 \\ \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 +1 +1 + 1 \\ \\ &= (1-7) + (1-6) + (1-5) + (1-4) + (1-3) + (1-2) + (1-1) + 1\, + \\ &\phantom{=} \ \ \ \!  (1+1) + (1+2) + (1+3) + (1+4) + (1+5) +(1+6) +(1+7) \\ \\ &=(-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2)+ (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 \\ \\ &=\textcolor{Red}{(-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2)+ (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} + 7 + 8\\ \\ &= \textcolor{Red}{0} + 7 + 8 \\ \\ &= 7 + 8\end{align*}Est-ce tout ? Qu’est-ce que cela nous dit sur les puissances de \(2\) ? Une façon de procéder est de retourner le problème à l’envers.

Les sommes avec un nombre impair de termes

Les sommes avec un nombre impair de termes correspondent à des nombres qui possèdent au moins un facteur impair. En effet, si on a \[n =k + (k + 1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k+i-1) + (k + i)\]où \(i\) est un nombre pair, alors \begin{align*}n&=k(i + 1) + 1 + 2 +  \dots \ + (i-1) + i \\ \\ &= k(i + 1) + \frac{i(i+1)}{2} \\ \\ &=(i + 1)\left(k + \frac{i}{2}\right)\end{align*}Puisque \(i\) est pair, \(i + 1\) est impair et le nombre \(n\) possède donc au moins un facteur impair. En d’autres mots, les nombres qui peuvent s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre impair de termes sont des nombres qui possèdent au moins un facteur impair. Ainsi, une puissance de \(2\) ne peut pas être exprimée comme une somme de nombres entiers consécutifs contenant un nombre impair de termes.

Les sommes avec un nombre pair de termes

Il reste donc les sommes qui contiennent un nombre pair de termes. Supposons cette fois-ci que \(n\) puisse s’exprimer comme une somme de nombres entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes, donc \[n = k + (k + 1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k + i – 1) + (k + i)\]où \(i\) est un nombre impair. Notons qu’il est possible de rajouter à cette somme le terme \(k -1\) et son opposé \(-k + 1\), rajouter \(k-2\) et son opposé \(-k + 2\), ainsi de suite. Un nombre et son opposé viennent par paire, lorsqu’on ajoute en plus \(0\), qui est son propre opposé, on aura rajouté à la somme un nombre impair de termes. Puisque la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire, cela fait maintenant au total un nombre impair de termes. En d’autres mots, \begin{align*}n &= (-k+1) + (-k + 2) + \ \dots \ +\, 0 \, + \ \dots \ + (k-2) + (k-1)\ + \\ &\phantom{=} \ \ \ \! k + (k +1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k + i-1) + (k + i) \end{align*}contient \[\underset{\text{les \(i + 1\) termes de départ}}{\underbrace{i + 1}} + \underset{\text{les \(k-1\) termes et leurs opposés}}{\underbrace{2(k-1)}} + \underset{\text{zéro}}{\underbrace{1}} \  = \ 2k + i\]termes et puisque \(i\) est impair, il y a évidemment un nombre impair de termes. En vertu de ce qu’on a énoncé plus haut, ce nombre est donc un nombre qui contient au moins un facteur impair. Pour s’en convaincre, on peut poser \(-k + 1 = j\) simplement pour rendre l’écriture plus lisible, et remarquer que \begin{align*}n &= (-k+1) + (-k + 2) + \ \dots \ +\, 0 \, + \ \dots \ + (k-2) + (k -1)\ + \\ &\phantom{=} \ \ \ \! k + (k +1) + (k + 2) + \ \dots \ + (k + i – 1) + (k + i) \end{align*}devient \begin{align*}n &= j + (j+1) + \ \dots +\, (j+k-1) \, + \ \dots \ + (j + 2k-2)\ + (j + 2j -1) + \\ &\phantom{=} \ \ \ \!  (j + 2k) + (j + 2k + 1) + \ \dots \ + (j + 2k + i-2) + (j + 2k + i-1) \\ \\ &= j(2k + i) + 1 + 2 + \ \dots \ + (2k + i -2) + (2 k + i-1) \\ \\ &= j(2k + i) + \frac{(2k +i-1)(2k+i)}{2} \\ \\ &= (2k + i)\left(j + \frac{2k + i-1}{2}\right) \\ \\ &=(2k + i) \left(-k + 1 + \frac{2k + i-1}{2}\right) \\ \\ &=(2k + i)\left(\frac{-2k + 2}{2} + \frac{2k + i – 1}{2}\right)\\ \\ &=(2k + i) \left(\frac{i + 1}{2}\right)\end{align*}Puisque \(i\) est impair, \(2k + i\) est impair, et on peut constater que \(n\) possède au moins un facteur impair. Ah ! Ainsi, les nombres qui peuvent s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes possèdent au moins un facteur impair. Les puissances de \(2\) ne peuvent donc pas s’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes.

Un exemple numérique est encore bienvenu. Dans le tableau ci-dessus, je vois \[34 = 7 + 8 + 9 +10\]un nombre qui s’exprime comme une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes. On remarque que \begin{align*}34&= 7 + 8 + 9 + 10 \\ \\ &= 7 + (7+1) + (7 + 2) + (7+3)\end{align*}et que si on reprend \((2k + i) \left(\frac{i + 1}{2}\right)\) avec \(k = 7\) et \(i = 3\) on obtient \begin{align*}(2k + i) \left(\frac{i + 1}{2}\right) &= (2(7) + 3)\left(\frac{3 + 1}{2}\right) \\ \\ &=(14 + 3)\left(\frac{4}{2}\right) \\ \\ &=17 \cdot 2\\ \\ &=34\end{align*}

En résumé, les puissances de \(2\), les seuls nombres qui ne comportent aucun facteur impair, ne peuvent être exprimés comme une somme d’entiers consécutifs car elles ne peuvent être exprimées avec une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre impair de termes pas plus qu’une somme d’entiers consécutifs contenant un nombre pair de termes.

Le nombre de sommes différentes

Enfin, tout cette démarche suggère le corolaire suivant : il y a une façon de moins d’exprimer un nombre comme une somme de nombres entiers consécutifs que ce nombre possède de diviseurs impairs. À titre d’exemple, puisque \(15\) possède quatre diviseurs impairs, c’est-à-dire \(1\), \(3\), \(5\) et \(15\), on peut exprimer \(15\) comme une somme d’entiers consécutifs de \(4-1=3\) façons différentes\begin{align*}15 &= 7 + 8 \\ \\ &=4 + 5 + 6 \\ \\ &=1 + 2 + 3 +4  +5 \end{align*}Le nombre \(18\), quant à lui, possède \(3\) diviseurs impairs, \(1\), \(3\) et \(9\) donc on peut l’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs de \(3-1=2\) façons différentes\begin{align*}18&=5 + 6 + 7 \\ \\ &=3 + 4 + 5 + 6\end{align*}qu’on trouverait en effectuant\begin{align*}18 &=3 \times 6 \\ \\ &=6 + 6 + 6 \\ \\ &=(6-1) + 6 + (6+1) \\ \\ &= 5 + 6 + 7\end{align*}et \begin{align*}18&=9\times 2\\ \\ &= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \\ \\ &=(2-4) + (2-3)+(2-2) + (2-1) + 2 + (2 +1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2+ 4) \\ \\ &=(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \\ \\ &= \textcolor{Red}{(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2} + 3 + 4 + 5 + 6 \\ \\ &= \textcolor{Red}{0} + 3 + 4 + 5 + 6 \\ \\  &= 3 + 4 + 5 + 6\end{align*}

La raison pour laquelle on enlève \(1\) au nombre de diviseurs impairs est que tous les nombres se divisent par le nombre impair \(1\) et l’utilisation de ce facteur dans la démarche précédente mène à la « somme » triviale \[k = 1\times k  = k\]une « somme » à un terme. Avec \(18\), on aurait \begin{align*}18 &= 1 \times 18\\ \\  &= 18\end{align*}

La solution au problème initial

Le nombre \(2\,021\), impair, n’est clairement pas une puissance de \(2\). Il n’a malheureusement pas de petit facteur premier, des facteurs pour lesquels on connaîtrait un critère de divisibilité, par exemple. Puisque \(\sqrt{2\,021}\approx 44,\!9555\), on doit chercher du côté des nombres premiers inférieur à \(45\). Il y en a \(14\). Ils sont \[2, \, 3,\,5,\, 7, \, 11,\, 13,\,  17,\, 19, \, 23, \, 29, \, 31, \, 37, \, 41,\, 43\]Si on enlève les facteurs \(2\), \(3\) et \(5\), il en reste \(11\) à vérifier. Comble de malchance, c’est le dernier facteur de la liste, \(43\), qu’on cherche. \[2\, 021 = 43 \times 47\]Le nombre \(2\,021\) est donc le produit de deux nombres premiers, \(43\) et \(47\). Il a donc quatre diviseurs impairs, \(1\), \(43\), \(47\) et \(2\,021\). Et il y a donc \(4-1=3\) façons de l’exprimer comme une somme d’entiers consécutifs.\[2\,021 = 1\,010 + 1\,011\]est la première, trouvée au début du billet. Les deux autres sont \begin{align*}2\,021 &= 43 \times 47 \\ \\ &= \underset{43 \text{ fois}}{\underbrace{47 + 47 + \ \dots \ + 47 + 47 + 47 + \ \dots \ + 47 + 47}} \\ \\ &= (47-21) + (47-20) + \, \dots \, + (47-1) + \! \! \! \underset{22^{\text{e}} \text{ terme}}{\underbrace{47}}\! \! \! + (47 + 1) + \, \dots \, + (47 + 20) + (47 + 21) \\ \\ &= 26 + 27 + 28 + \ \dots \ + 42 + 43 + 44 + \ \dots \ + 66 + 67 + 68 \end{align*} et \begin{align*}2\,021 &= 47 \times 43 \\ \\ &= \underset{47 \text{ fois}}{\underbrace{43 + 43 + \ \dots \ + 43 + 43 + 43 + \ \dots \ + 43 + 43}} \\ \\ &= (43-23) + (43-22) +\, \dots \, + (43-1) +\! \! \! \underset{24^{\text{e}} \text{ terme}}{\underbrace{43}}\! \! \! + (43 + 1) + \dots + (43 + 22) + (43 + 23) \\ \\ &= 20 + 21 + 22 + \, \dots \, + 46 + 47 + 48 + \ \dots \ + 64 + 65 + 66 \end{align*}

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