Asin(x+α) + Bcos(x+β)

Bon, le titre n’est pas très original, et cette introduction ne l’est guère plus, mais nous allons nous intéresser aux expressions de cette forme \[A\sin(x+\alpha)+B\cos(x+\beta)\]Commençons d’abord avec le cas plus simple dans lequel \(\alpha=0\) et \(\beta=0\). Quiconque s’est déjà amusé à additionner des fonctions sinus ou cosinus (de même période) dans une calculatrice graphique a pu observer que le résultat est une fonction périodique qui ressemble à un sinusoïde. Par exemple, si je trace la fonction \[f(x) = 3\sin(x) + 4\cos(x)\]j’obtiens ce qui semble être une fonction périodique qui oscille entre \(-5\) et \(5\).

Si je trace en plus dans le même plan la fonction \[g(x) = 5\cos(x)\]la ressemblance est frappante. Il semble s’agir de la même fonction, mais déphasée.

Les apparences ne sont pas trompeuses. La fonction \(f\) est réellement un sinusoïde.

En effet, il est possible de trouver des valeurs \(C\) et \(\gamma\) telles que \[A\sin(x) + B\cos(x) = C \cos(x-\gamma)\]Avec la formule de différence d’angles du cosinus, on obtient \begin{align*}C\cos(x-\gamma) &= C\left(\cos(x)\cos(\gamma) + \sin(x)\sin(\gamma)\right) \\ \\ &= C\sin(\gamma)\sin(x) + C\cos(\gamma)\cos(x)\end{align*}En posant, \[\textcolor{Green}{A}\sin(x) + \textcolor{Red}{B}\cos(x) = \textcolor{Green}{C\sin(\gamma)}\sin(x) + \textcolor{Red}{C\cos(\gamma)}\cos(x)\]on observe que \(A = C\sin(\gamma)\) et \(B= C\cos(\gamma)\). Comment déterminer les valeurs de \(C\) et \(\gamma\) pour une somme donnée ? On utilise deux relations trigonométriques bien connues. Pour \(C\), on a \begin{align*}A^{2}+B^{2}&=\left(C\sin(\gamma)\right)^2 +\left(C\cos(\gamma)\right)^{2} \\ \\ &=C^{2}\sin^2(\gamma) + C^{2}\cos^2(\gamma) \\ \\ &=C^{2}\left(\sin^{2}(\gamma) + \cos^{2}(\gamma)\right) \\ \\ &= C^{2}\end{align*}car \[\sin^{2}(\gamma) + \cos^{2}(\gamma) = 1\]On obtient donc\[C = \pm \sqrt{A^{2} + B^{2}}\]Pour \(\gamma\), on a \begin{align*}\frac{A}{B} &= \frac{C\sin(\gamma)}{C\cos(\gamma)} \\ \\ &= \frac{\cancel{C}\sin(\gamma)}{\cancel{C}\cos(\gamma)} \\ \\ &= \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}\\ \\ &= \tan(\gamma)\end{align*}On obtient donc\[\gamma = \arctan\left(\frac{A}{B}\right)\]Il est possible de toujours choisir la racine positive pour \(C\) en ajustant la valeur de \(\gamma\). Si \(B\geq 0\), \(\gamma = \arctan\left(\frac{A}{B}\right)\) alors que si \(B<0\), \(\gamma = \arctan\left(\frac{A}{B}\right) + \pi \). Si on préfère s’en tenir aux valeurs de l’arctangente sans ajustement, on peut aussi choisir la racine négative \(C = -\sqrt{A^2 + B^2}\) lorsque \(B<0\) et positive \(C = \sqrt{A^2 + B^2}\) lorsque \(B\geq 0\).

Entre autres choses, cela nous permet de résoudre des équations de cette forme ou de trouver des maximums ou des minimums plus aisément.

Résoudre \[12\sin(x) + 5\cos(x) = 0\]sur l’intervalle \(\left[0, \, 2\pi\right]\)

On pose \begin{align*}C &= \sqrt{12^{2}+5^{2}} \\ \\ &=\sqrt{144+25} \\ \\ &=\sqrt{169} \\ \\ &=13\end{align*}ainsi que \begin{align*}\gamma &=\arctan\left(\frac{12}{5}\right) \\ \\ &= \arctan(2,\!4) \\ \\  &\approx 1,\!176\end{align*}On peut donc résoudre \[13 \cos(x-\arctan(2,\!4)) = 0\]On divise par \(13\) de chaque côté \[\cos(x-\arctan(2,\!4)) = 0\]On obtient \[x-\arctan(2,\!4)= \frac{\pi}{2}\] ou \[x-\arctan(2,\!4) = \frac{3\pi}{2}\]ce qui fait \begin{align*}x &= \frac{\pi}{2} + \arctan(2,\!4) \\ \\ &\approx 2,\!747\end{align*} ou \begin{align*}x &= \frac{3\pi}{2} + \arctan(2,\!4) \\ \\ &\approx 5,\!888\end{align*}

Quel est le maximum de la fonction \[f(x) = 8\sin(x) + 15\cos(x)\]sur l’intervalle \(\left[0,\, 2\pi \right]\) et pour quelle valeur de \(x\) a-t-on ce maximum ?

On pose \begin{align*}C &= \sqrt{8^{2}+15^{2}} \\ \\ &=\sqrt{64+225} \\ \\ &=\sqrt{189} \\ \\ &=17\end{align*}ainsi que \begin{align*}\gamma &=\arctan\left(\frac{8}{15}\right) \\ \\ &\approx 0,\!490\end{align*}

Le maximum de la fonction \[g(x) = 17\cos\left(x-\arctan\left(\frac{8}{15}\right)\right)\] est \(17\) et celui-ci est obtenu lorsque \(x = \arctan\left(\frac{8}{15}\right) \approx 0,\!490\).

Si \(\alpha \neq 0\) et/ou \(\beta \neq 0\)

Qu’arrive-t-il si \(\alpha \neq 0\) ou \(\beta \neq 0\) ? La somme est-elle encore un sinusoïde si une des deux fonctions (ou les deux) a d’abord subi un déphasage ? La réponse est oui. Il suffit d’appliquer les formules d’addition d’angles et de regrouper. \begin{align*}A\sin(x+\alpha)+B\cos(x+\beta) &=A\big(\!\sin(x)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(x)\big)+B\big(\!\cos(x)\cos(\beta)-\sin(x)\sin(\beta)\big)\\ \\ &=A\cos(\alpha)\sin(x)+A\sin(\alpha)\cos(x)+B\cos(\beta)\cos(x)-B\sin(\beta)\sin(x) \\ \\ &=\big(\!A\cos(\alpha)-B\sin(\beta)\big)\sin(x) + \big(A\sin(\alpha)+B\cos(\beta)\big)\cos(x)\end{align*}On retrouver une expression de la forme \[A_{1}\sin(x) + B_{1}\cos(x)\]dans laquelle \(A_{1}=A\cos(\alpha)-B\sin(\beta)\) et \(B_{1}=A\sin(\alpha)+B\cos(\beta)\).

Un exemple numérique

Considérons l’expression \[5\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right) + 3\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\]On applique les formules d’addition d’angles \begin{align*}5\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right)+3\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right) &=5\left(\sin(x)\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\cos(x)\right) + 3\left(\cos(x)\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)-\sin(x)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \\ \\ &=5\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\sin(x)-3\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\sin(x) + 5\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\cos(x)+3\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos(x) \\ \\ &=\left(5\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)-3\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)\sin(x) + \left(5\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)+3\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)\cos(x) \\ \\ &=\left(5\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\sin(x) + \left(5\left(\frac{1}{2}\right)+3\left(-\frac{1}{2}\right) \right)\cos(x) \\ \\ &=\left(\frac{-8\sqrt{3}}{2}\right)\sin(x)+\cos(x) \\ \\ &=-4\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)\end{align*}

On a une expression de la forme \[A\sin(x) + B\cos(x)\] avec \(A = -4\sqrt{3}\) et \(B = 1\). On trouve \begin{align*}C &= \pm\sqrt{\left(-4\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} \\ \\ &=\sqrt{48+1} \\ \\ &=\sqrt{49} \\ \\ &=7\end{align*}D’autre part, on trouve \begin{align*} \gamma &=\arctan\left(\frac{-4\sqrt{3}}{1}\right) \\ \\ &\approx -1,\!427449\end{align*}Ainsi, on peut vérifier avec la calculatrice graphique que \begin{align*}5\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right) + 3\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right) &= 7\cos\left(x-\arctan\left(-4\sqrt{3}\right)\right) \\ \\ &\approx 7\cos(x+1,\!427449)\end{align*}

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