Author: The Dude

On a vu dans ce billet que le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire \(t_{n}\) correspond à la somme des \(n\) premiers entiers. \[t_{n}= \frac{n(n+1)}{2}\]

Les premiers nombres triangulaires

Qu’obtient-on si on renchérit et qu’on s’intéresse à la somme des \(n\) premiers nombres triangulaires  \[ t_{1}+t_{2} + t_{3} \, + \, \dots \, + \, t_{n} = 1 + 3 + 6\, + \, \dots \, +\, \frac{n(n+1)}{2}\] Géométriquement, on obtient un nombre tétraédrique (ou nombre pyramidal triangulaire). On note le \(n^{\text{e}}\) nombre tétraédrique \(P^{(3)}_{n}\).

Les nombres tétraédriques

Le troisième nombre tétraédrique, \(P^{(3)}_{3} = 10\)

La table de valeurs suivante présente les premiers nombres tétraédriques.

\[n\]	\[P^{(3)}_{n}\]
\[1\]	\[1\]
\[2\]	\[4\]
\[3\]	\[10\]
\[4\]	\[20\]
\[5\]	\[35\]
\[6\]	\[56\]
\[7\]	\[84\]
\[8\]	\[120\]
\[9\]	\[165\]
\[10\]	\[220\]
\[\dots\]	\[\dots\]

Quelle expression simplifiée correspond au \(n^{\text{e}}\) nombre tétraédrique ? Dans The Book of Numbers, Conway et Guy [1] proposent une façon simple et ingénieuse de procéder. Il suffit de considérer trois fois le nombre tétraédrique, c’est-à-dire trois fois la somme des nombres triangulaires. En présentant ces nombres de manière ingénieuse et en additionnant terme à terme, on obtient le résultat recherché sans effort.

Dans l’image ci-dessous, on le fait pour \(n = 6\).

Considérons un des termes de l’égalité. On appelle \(a_{(i,j)}\) le \(j^{\text{e}}\) nombre (en partant de la gauche) du \(i^{\text{e}}\) étage (en partant du haut) d’un des termes.

Dans le premier triangle du membre de gauche, \(a_{(i,j)}\) est simplement \(j\). Dans le deuxième triangle, c’est \(i+1-j\), et dans le troisième triangle, c’est \(n+1-i\).

Puisque\[j + i + 1-j + n+1-i = n+2\]en additionnant les nombres \(a_{(i,j)}\) des trois triangles terme à terme, on obtient le \(n^{\text{e}}\) nombre triangulaire de fois le nombre \(n+2\) (le membre de droite de l’égalité). Dans l’exemple, \(n + 2 = 6+2 = 8\). Ainsi, \begin{align*}3\cdot P^{(3)}_{n} &= 3\left(t_{1}+t_{2} + t_{3}+ \, \dots \, + t_{n}\right) \\ \\ &=t_{n} \cdot (n+2) \\ \\ &= \frac{n(n+1)}{2} \cdot (n+2)\end{align*}En divisant par \(3\), on obtient l’expression recherchée \[P^{(3)}_{n} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\]

 

[1] The Book of Numbers, Conway, John H. and Richard Guy, 1996, Copernicus New York.

Un ancien élève m’a demandé pourquoi sur sa calculatrice, peu importe le nombre qu’il entre, s’il appuie une nombre suffisant de fois sur la touche racine carrée, il finit toujours par obtenir \(1\). Cette publication lui est adressée et fait suite à notre discussion.

Je lui ai d’abord fait remarquer que s’il entre \(0\) comme nombre de départ, il obtiendra \(0\) en appuyant sur la racine carrée (autant de fois qu’il le désire) et non \(1\). Et s’il entre un nombre négatif…

Cela étant dit, si on restreint notre choix de nombre de départ aux nombres strictement positifs, il est vrai qu’on se rapproche aussi près de \(1\) que voulu.

Déplacez le point bleu afin de choisir le nombre de départ.

Une discussion pertinente sur le nombre de chiffres retenus en mémoire par la calculatrice (qui est généralement différent du nombre de chiffres affichés par l’écran de la calculatrice) et la précision des calculs faits par celle-ci s’en est suivie. La calculatrice affiche \(1\) après un certain nombre d’étapes, car elle n’a pas en mémoire une précision arbitraire de chiffres après la virgule : en réalité, on n’atteint pas \(1\), on ne fait que s’en approcher. Ainsi, après de nombreuses étapes, la différence entre la vraie valeur et \(1\) est si petite que la calculatrice n’y voit que du feu : elle affiche \(1\). Grâce à une petite série de calculs simples, nous avons découvert que la calculatrice de l’élève affiche \(10\) chiffres mais semble en garder en mémoire \(12\).

En étudiant séparément les cas où \(0<x<1\) et \(1<x\) et on considérant l’effet de la racine carrée sur \(x\), on arrive à se convaincre intuitivement. Cela dit j’étais un peu embêté d’en discuter sur le champs avec l’élève avec un peu plus de rigueur. Voici peut-être deux approches un peu plus rigoureuses qui ont un certain mérite, sans toutefois tomber dans des considérations pointues de continuité qui seraient considérées dans un cours d’analyse.

La racine carrée comme exposant

Puisque \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), on peut poser \[f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\] puis \begin{align*}f_{(2)}(x) &= \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 2}}}\end{align*}  \begin{align*}f_{(3)}(x) &= \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = \left(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 3}}}\end{align*} et plus généralement \begin{align*}f_{(n)}(x) &= \underset{n\text{ racines}}{\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\dots \sqrt{\sqrt{x}}}}}}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}}\end{align*}Ainsi, si \(x \neq 0\), on trouve \begin{align*}\lim_{n \to \infty}f_{(n)}(x) &= \lim_{n \to \infty}x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}} \\ \\ &= x^{0}\\ \\ &= 1\end{align*}

 

Une simple inéquation

Si \(x>0\), bien sûr \(\frac{x^{2}}{4}>0\), et on a \[1 + x < 1 + x + \frac{x^{2}}{4} = \left(1+\frac{x}{2}\right)^{2}\]Ainsi, en extrayant la racine carrée de chaque côté, \[\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}\]En posant \(y = 1+x\) ou, de manière équivalente, \(x = y-1\), et puisque \(x>0\), pour \(y>1\), on obtient \[\sqrt{y} < 1 + \frac{y-1}{2}\]Cela veut donc dire qu’à chaque itération, la distance entre la valeur de la racine carrée de \(y\) et \(1\) diminue de plus de moitié. Avec les racines successives, on s’approche donc arbitrairement près de \(1.\)

Par exemple, si le nombre de départ est \(49\), alors on est certain de se rapprocher de \(1\) de plus de \[\frac{49-1}{2} = \frac{48}{2} = 24\]Ainsi, \[\sqrt{49}<49-24 = 25\]Bien sûr ce n’est qu’une borne supérieure, en réalité dans cet exemple, la distance diminue de pas mal plus que \(24\) car on sait tous que \(\sqrt{49} =7<25\). Si le nombre de départ est \(10\), alors la distance diminue de plus de \[\frac{10-1}{2} = \frac{9}{2} = 4,\!5\]Effectivement, \[\sqrt{10} \approx 3,\!162 < 10-4,\!5 = 5,\!5\]En extrayant à nouveau la racine carrée, on coupe à nouveau cette distance de plus de moitié et avec les racines itérées, on peut s’approcher arbitrairement près de \(1\).

Le lecteur aguerri aura remarqué qu’il s’agit en fait de manière déguisée de l’inégalité des moyennes arithmétique et géométrique pour deux nombres \[G\leq A\]qui stipule que pour deux nombres positifs \(a\) et \(b\), \[\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\]avec égalité si et seulement si \(a = b\). Il suffit de considérer les valeurs \(a = 1\) et \(b = y>1\) à chaque itération : la moyenne géométrique de \(1\) et de \(y\) est strictement inférieure à la moyenne arithmétique entre \(1\) et ce même nombre : \begin{align*}\sqrt{1\cdot y}&< \frac{1+y}{2} \\ \\ &<\frac{2+1+y-2}{2} \\ \\ &<1+\frac{y-1}{2}\end{align*}Ainsi, puisque \(y>1\), on a \[1<\sqrt{y} <\frac{1+y}{2}\]et une petite réflexion nous convainc que \[1 <\sqrt{\sqrt{y}}<\frac{1+\sqrt{y}}{2}<\sqrt{y}<\frac{1+y}{2}\]

Qu’arrive-t-il si \(0<y<1\) ? C’est moins joli mais il est possible de réduire le cas à celui de \(\frac{1}{y}>1\) car \[\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}\]Puisque les racines itérées de \(\sqrt{\frac{1}{y}}\) s’approche de \(1\), celles de \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) aussi. Et si \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) tend vers \(1\), alors \(\sqrt{y}\) également !

Après avoir étudié la question des nombres pouvant s’exprimer comme une différence de carrés, la suite évidente et très naturelle est celle-ci :

Quels nombres peuvent s’écrire comme une somme de carrés ?

La réponse, dans ce cas-ci, est beaucoup plus difficile que précédemment. Heureusement pour nous, les nombres exprimés comme une somme de carrés sont un résultat classique de la théorie des nombres exposé dans tout bon livre sur le sujet.

Un nombre \(c>1\) peut s’écrire comme une somme de carrés strictement positifs si \(c\) ne comporte pas, dans sa factorisation première, un facteur premier de la forme \(4n+3\) élevé à une puissance impaire et si \(c\) n’est pas une puissance de \(2\) élevée à un exposant pair.

Petite remarque préliminaire : je dois avouer que j’ai réfléchi pendant un bon moment à comment présenter une démonstration élémentaire de ce résultat qui serait accessible à des élèves ou des étudiants et qui serait contenue dans une seule publication sur ce blogue. Comme je ne suis pas satisfait du résultat, la démonstration demeurera, pour l’instant, au statut de brouillon, et fera l’objet d’une autre publication plus tard. Le lecteur sceptique peut néanmoins consulter ces références en attendant : [1], [2], [3] et [4].

Une pièce importante du casse-tête est celle-ci, due à Fermat : tout nombre premier de la forme \(4n+1\) peut s’exprimer comme une somme de carrés d’une façon unique. Les nombres premiers de la forme \(4n+3\), quant à eux, ne peuvent pas s’exprimer comme une somme de carrés. Il reste le nombre premier \(2\) qui ne fait partie ni de la première catégorie ni de l’autre, mais puisque \[2 = 1^2 + 1^2\]le nombre premier \(2\) a sa propre représentation en somme de carrés. La table de valeurs suivante consigne les sommes de carrés uniques pour tous les nombres premiers de la forme \(p = 4n+1\) (ainsi que pour \(2\)) avec \(p<1\,000\) [5].

\(p=2\) ou \(p = 4n+1\) avec \(p<1\,000\)
\[2 = 1^2 + 1^2\]
\[5 = 1^2 + 2^2\]
\[13 = 2^2 + 3^2\]
\[17 = 1^2 + 4^2\]
\[29 = 2^2 + 5^2\]
\[37 = 1^2 + 6^2\]
\[41 = 4^2 + 5^2\]
\[53 = 2^2 + 7^2\]
\[61 = 5^2 + 6^2\]
\[73 = 3^2 + 8^2\]
\[89 = 5^2 + 8^2\]
\[97 = 4^2 + 9^2\]
\[101 = 1^2 + 10^2\]
\[109 = 3^2 + 10^2\]
\[113 = 7^2 + 8^2\]
\[137 = 4^2 + 11^2\]
\[149 = 7^2 + 10^2\]
\[157 = 6^2 + 11^2\]
\[173 = 2^2 + 13^2\]
\[181 = 9^2 + 10^2\]
\[193 = 7^2 + 12^2\]
\[197 = 1^2 + 14^2\]
\[229 = 2^2 + 15^2\]
\[233 = 8^2 + 13^2\]
\[241 = 4^2 + 15^2\]
\[257 = 1^2 + 16^2\]
\[269 = 10^2 + 13^2\]
\[277 = 9^2 + 14^2\]
\[281 = 5^2 + 16^2\]
\[293 = 2^2 + 17^2\]
\[313 = 12^2 + 13^2\]
\[317 = 11^2 + 14^2\]
\[337 = 9^2 + 16^2\]
\[349 = 5^2 + 18^2\]
\[353 = 8^2 + 17^2\]
\[373 = 7^2 + 18^2\]
\[389 = 10^2 + 17^2\]
\[397 = 6^2 + 19^2\]
\[401 = 1^2 + 20^2\]
\[409 = 3^2 + 20^2\]
\[421 = 14^2 + 15^2\]
\[433 = 12^2 + 17^2\]
\[449 = 7^2 + 20^2\]
\[457 = 4^2 + 21^2\]
\[461 = 10^2 + 19^2\]
\[509 = 5^2 + 22^2\]
\[521 = 11^2 + 20^2\]
\[541 = 10^2 + 21^2\]
\[557 = 14^2 + 19^2\]
\[569 = 13^2 + 20^2\]
\[577 = 1^2 + 24^2\]
\[593 = 8^2 + 23^2\]
\[601 = 5^2 + 24^2\]
\[613 = 17^2 + 18^2\]
\[617 = 16^2 + 19^2\]
\[641 = 4^2 + 25^2\]
\[653 = 13^2 + 22^2\]
\[661 = 6^2 + 25^2\]
\[673 = 12^2 + 23^2\]
\[677 = 1^2 + 26^2\]
\[701 = 5^2 + 26^2\]
\[709 = 15^2 + 22^2\]
\[733 = 2^2 + 27^2\]
\[757 = 9^2 + 26^2\]
\[761 = 19^2 + 20^2\]
\[769 = 12^2 + 25^2\]
\[773 = 17^2 + 22^2\]
\[797 = 11^2 + 26^2\]
\[809 = 5^2 + 28^2\]
\[821 = 14^2 + 25^2\]
\[829 = 10^2 + 27^2\]
\[853 = 18^2 + 23^2\]
\[857 = 4^2 + 29^2\]
\[877 = 6^2 + 29^2\]
\[881 = 16^2 + 25^2\]
\[929 = 20^2 + 23^2\]
\[937 = 19^2 + 24^2\]
\[941 = 10^2 + 29^2\]
\[953 = 13^2 + 28^2\]
\[977 = 4^2 + 31^2\]
\[997 = 6^2 + 31^2\]

La deuxième pièce importante du casse-tête est l’identité de Diophante (parfois aussi appelée l’identité de Brahmagupta–Fibonacci) : \begin{align*}\left(x^{2} + y^{2}\right)\!\left(w^{2}+ z^{2}\right) &= x^{2}w^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}w^{2}+y^{2}z^{2}\\ \\ &=(xw)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}+(yw)^{2} \\ \\ &=(xw)^{2}+2xywz+(yz)^{2}+(xz)^{2}-2xywz + (yw)^{2} \\ \\ &=\left(xw + yz\right)^2 + \left(xz-yw\right)^{2}\end{align*}Cette identité nous permet d’exprimer un produit de sommes de carrés en une somme de carrés \[\left(x^{2}+y^{2}\right)\!\left(w^{2}+z^{2}\right) = (xw+yz)^{2}+(xz-yz)^{2}\]Il apparait donc possible de calculer la factorisation première d’un nombre, puis, si les facteurs premiers sont de la bonne forme, d’exprimer, en plusieurs étapes au besoin, les produits de facteurs premiers en sommes de carrés.

Le lecteur aguerri aura peut-être remarqué qu’il est aussi possible d’obtenir cette identité\begin{align*}\left(x^{2} + y^{2}\right)\left(w^{2}+ z^{2}\right) &= x^{2}w^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}w^{2}+y^{2}z^{2}\\ \\ &=(xw)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}+(yw)^{2} \\ \\ &=(xw)^{2}-2xywz+(yz)^{2}+(xz)^{2}+2xywz + (yw)^{2} \\ \\ &=\left(xw + yz\right)^2 + \left(xz-yw\right)^{2}\end{align*}En général, il est donc possible d’exprimer le produit de deux sommes de carrés en deux sommes de carrés différentes. Par exemple, \begin{align*}221&= 13\cdot 17 \\ \\ &= \left(4 + 9\right)\left(1+16\right) \\ \\ &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(1^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &= \left(2\cdot 1 + 3\cdot 4\right)^2 + \left(2\cdot 4-3\cdot 1\right)^{2} \\ \\ &= 14^{2} + 5^{2} \\ \\ \\ &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(1^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=\left(2\cdot 1-3\cdot 4\right)^{2} + \left(2\cdot 4+3\cdot 1\right)^{2} \\ \\ &= \left(-10\right)^2 + 11^{2} \\ \\ &=10^{2}+11^{2}\end{align*}Le nombre \(221\) s’écrit donc de deux façons différentes comme une somme de carrés \[221 = 14^{2}+5^{2}= 10^{2}+11^{2}\]Notons enfin qu’il est possible d’éviter d’utiliser la deuxième identité \[\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(w^{2}+z^{2}\right) =\left(xw-yz\right)^2 + \left(xz+yw\right)^{2}\] et de n’utiliser que la première \[\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(w^{2}+z^{2}\right) =\left(xw + yz\right)^2 + \left(xz-yw\right)^{2}\]car, en réalité, on obtient le même résultat en échangeant \(w\) et \(z\) dans la première (une simple manipulation algébrique convainc). En reprenant l’exemple numérique de \(221\), on obtient \begin{align*}221 &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(1^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=\left(2^{2}+3^{2}\right)\left(4^{2}+1^{2}\right) \\ \\ &=\left(2\cdot 4 + 3\cdot 1\right)\left(2\cdot 1-3\cdot 4\right) \\ \\ &= 11^{2}+(-10)^{2}\\ \\ &=11^{2}+10^{2}\end{align*}

Petit détail concernant \(2 = 1^{2}+1^{2}\). Dans ce cas \(x = y\) (ou \(w=z\), peu importe) et cela ne génère pas deux sommes différentes. Par exemple, \begin{align*}146&= 2\cdot 73 \\ \\ &=\left(1 + 1\right)\left(9 + 64\right) \\ \\ &=\left(1^{2}+1^{2}\right)\left(3^{2}+8^{2}\right) \\ \\ &=\left(1\cdot 3 + 1\cdot 8\right)^{2}+\left(1\cdot 8-1\cdot 3\right)^{2} \\ \\ &=11^{2}+5^{2}  \\ \\ \\ &=\left(1^{2}+1^{2}\right)\left(8^{2}+3^{2}\right) \\ \\ &= \left(1\cdot 8+1\cdot 3\right)^{2}+\left(1\cdot 3-1\cdot 8\right)^{2} \\ \\ &=11^{2}+\left(-5\right)^{2} \\ \\ &=11^{2}+5^{2}\end{align*}Il est aussi inutile d’utiliser l’identité de Diophante si les deux nombres premiers sont \(2\) \begin{align*}2^{2} &= 2\cdot 2 \\ \\ &=(1^{2}+1^{2})(1^{2}+1^{2}) \\ \\ &=(1\cdot 1+1\cdot 1)^{2}+(1\cdot 1-1\cdot 1)^{2} \\ \\ &=2^{2}+0^{2} \\ \\ &=2^{2}\end{align*}

La dernière pièce du casse-tête vient du fait que si \[c = (ad)^{2}+(bd)^{2}\] alors \[c = d^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\]avec une simple mise en évidence. Ainsi, un nombre peut posséder dans sa factorisation première des facteurs premiers de la forme \(4n+3\), si ceux-ci sont présents un nombre pair de fois chacun.

On considère un nombre \[c =d^{2} \cdot 2^{\alpha} \cdot p_{1}^{\beta}\cdot p_{2}^{\gamma} \ \dots  \ p_{n}^{\omega}\]dans lequel \(d^{2}\) est le produit des facteurs premiers de la forme \(4n+3\) (tous nécessairement présents un nombre pairs de fois) et \(p_{1}\), \(p_{2}\), … , \(p_{n}\) sont les facteurs premiers de la forme \(4n+1\). Le facteur \(2 = 1^{2}+1^{2}\) a sa place particulière dans cette factorisation. On calcule \(x = (\beta +1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)\). Si \(x\) est pair, il y a \(\frac{1}{2}x\) sommes de carrés possibles. Si \(x\) est impair, cela implique que chaque facteur \(p_{i}\) est présent un nombre pair de fois (il pourrait même être possible qu’il n’y ait aucun facteur de la forme \(4n+1\) et dans ce cas on poserait \(\beta=0\), \(\gamma = 0\), … , \(\omega = 0\), et on obtiendrait \(x=1\)). Si \(\alpha\) est pair aussi, le nombre \(c\) est un carré et il y a \(\frac{1}{2}(x-1)\) sommes de carrés possibles. Si \(\alpha\) est impair, alors il y a \(\frac{1}{2}(x+1)\) sommes de carrés possibles. [6]

Corollaire : si \(c\) est une puissance de \(2\), alors il y a une seule façon de l’exprimer comme une somme de carrés si l’exposant est impair et aucune façon si l’exposant est pair.

Considérons enfin ces quelques exemples numériques.

\(8\,918\)

La factorisation première de \(8\, 918\) étant \(2\cdot 7^{3}\cdot 13\), et on constate qu’un facteur premier de la forme \(4n+3\), dans ce cas précis, \(7 = 4(1) + 3\), est présent un nombre impair de fois. Le nombre \(8\,918\) ne peut donc pas s’exprimer comme une somme de carrés.

\(6\,984\)

La factorisation première de \(6\,984\) est \(2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 97\). Dans ce cas, le nombre premier de la forme \(4n+3\), soit \(3\), est présent un nombre pair de fois. Le nombre premier \(97\) est un nombre premier de la forme \(4n+1\). On peut donc écrire \[6\,984 = \left(2\cdot 3\right)^{2}\left(2\cdot 97\right)\]Il n’y aura donc qu’une seule façon (\(\frac{(1+1)}{2}=1\)) d’écrire le nombre \(6\,984\) comme une somme de carrés. \begin{align*}6\,984 &= 6^{2} \left(2 \cdot 97\right) \\ \\ &=\left(1^{2}+1^{2}\right)\left(4^{2}+9^{2}\right) \\ \\ &=6^{2}\left(\left(1\cdot 4 + 1\cdot 9\right)^{2} + \left(1\cdot 9-1\cdot 4\right)^{2}\right) \\ \\ &=6^{2}\left(13^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=78^{2}+30^{2}\end{align*}

\(5\,945\)

La factorisation première de \(5\,945\) est \(5\cdot 29\cdot 41\). Il y a trois facteurs premiers de la forme \(4n+1\) affectés d’un exposant \(1\) et cela implique qu’il y aura \(\frac{(1+1)(1+1)(1+1)}{2}= 4\) sommes différentes. D’abord, on note que \begin{align*}5\,945&=5 \cdot 29 \cdot 41 \\ \\ &=\left(1^{2}+2^{2}\right)\left(2^{2}+5^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ \\ &=\left(\left(1\cdot2 + 2\cdot 5\right)^{2}+\left(1\cdot 5-2\cdot 2\right)^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &= \left(12^{2}+1^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=(12\cdot4 + 1\cdot 5)^{2}+(12\cdot 5-1\cdot 4)^{2}\\ \\ &=53^{2}+56^{2} \\ \\ \\ &=\left(12^{2}+1^{2}\right)\left(5^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=(12\cdot 5+ 1\cdot 4)(12 \cdot 4- 1\cdot 5) \\ \\ &=64^{2}+43^{2} \\ \\ \\ &=\left(2^{2}+1^{2}\right)\left(2^{2}+5^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right)\\ \\ &=\left((2\cdot2 + 1\cdot 5)^{2}+(2\cdot 5-1\cdot 2)^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=\left(9^{2}+8^{2}\right)\left(4^{2}+5^{2}\right) \\ \\ &=(8\cdot 4+8\cdot 5)^{2}+(9\cdot 5-8\cdot 4)^{2}\\ \\ &=76^{2}+13^{2}\\ \\ \\ &=\left(9^{2}+8^{2}\right)\left(5^{2}+4^{2}\right) \\ \\ &=(9\cdot 5 + 7\cdot 4)^{2}+(9\cdot 4-8\cdot 5)^{2}\\ \\ &=77^{2}+(-4)^{2}\\ \\ &=77^{2}+4^{2}\end{align*}

\(29\,768\)

La factorisation première de \(29\,768\) est \(2^{3}\cdot 61^{2}\). Le seul facteur de la forme \(4n+1\), \(61\), est présent un nombre pair de fois alors que le facteur \(2\) est présent un nombre impair de fois. Il y a donc \(\frac{(2+1)+1}{2} = 2\) façons d’exprimer \(29\,768\) comme une somme de carrés. \begin{align*}29\,768 &= 2^{3}\cdot 61^{2} \\ \\ &=2\cdot 2^{2}\cdot 61^{2} \\ \\ &= 2\cdot 122^{2} \\ \\ &=122^{2} + 122^{2} \\ \\ \\ &=2^{3}\cdot 61 \cdot 61 \\ \\ &= 2^{3}\left(6^{2}+5^{2}\right)\left(5^{2}+6^{2}\right) \\ \\ &= 2^{3}\left((6\cdot 5 + 5\cdot 6)^{2}+(6\cdot 6-5\cdot 5)^{2}\right) \\ \\ &=2^{2}\cdot 2\left(60^{2}+11^{2}\right) \\ \\ &=2^{2}\cdot \left(1^{2}+1^{2}\right)\left(60^{2}+11^{2}\right) \\ \\ &=2^{2}\left((1\cdot 60 + 1\cdot 11)^{2}+(1\cdot 11-1\cdot 60)^{2}\right)\\ \\ &=2^{2}\left(71^{2}+(-49)^{2}\right) \\ \\ &=142^{2}+98^{2}\end{align*}

[1]Hardy, Godfrey H. et Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 2008, Oxford University Press, 6e édition

[2]Niven, Ivan, Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 1991, Wiley, 5e édition

[3]Andrews, George E., Theory of Numbers, 1994, Dover

[4]Mathologer, Why was this visual proof missed for 400 years? (Fermat’s two square theorem), https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk

[5]Charles Hermite propose l’algorithme suivant (qu’on énonce sans démonstration) : Pour trouver \(a\) et \(b\) tels que \[a^{2}+b^{2}=p\]où \(p\) est de la forme \(4n+1\), on trouve le plus petit \(z\) tel que \[z^{2}\equiv -1 \text{ mod } p\]puis on applique l’algorithme d’Euclide à \(z\) et \(p\) et on s’arrête dès qu’on obtient deux nombres \(a\) et \(b\) inférieurs à \(\sqrt{p}\). Hermite à montré que ces \(a\) et \(b\) sont ceux qu’on cherche. Par exemple, pour \(p=157\), on trouve que le plus petit \(z\) pour lequel \(z\equiv -1 \text{ mod } 157\) est \(z = 28\) car \[28^{2}=784=157(5)-1 \equiv -1 \text{ mod } 157\]On applique ensuite l’algorithme d’Euclide avec \(28\) et \(157\). On s’arrête dès que les nombres sont inférieurs à \(\sqrt{157}\approx 12,\!53\).\[(28, \ 157) \to (28, \ 17) \to (11,\ 17) \to (11,\ 6)\]Voilà ! On constate que \[11^{2}+6^{2}= 157\]

[6] Weisstein, Eric W., Sum of Squares Function, From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html