Je suis, pour une deuxième année consécutive, un enseignant-mentor pour une équipe de robotique FIRST. C’est un défi de taille qui nécessite beaucoup de temps. Voici donc, ici sur ce blogue, une seconde brève, à point.
du grec καρδιά (kardia), la courbe du coeur
La cardioide, comme enveloppe de cercles
Si ce n’est déjà fait, je vous recommande d’aller visionner l’excellent film CHAOS : Une Aventure Mathématique, des mêmes auteurs que DIMENSIONS.
Bon, personnellement, j’ai failli décrocher à la deuxième minute du premier épisode quand Thierry Lhermitte nous parle des son « rocking chair ». Mais il faut persévérer car le film est d’une grande qualité. Pendant que le français (la langue) est en péril partout ailleurs dans le monde, il n’y a que les Français pour nous sortir de tels anglicismes.
Bon visionnage.
La preuve par induction est souvent courte et commodément efficace, même économique, mais elle remplace parfois d’autres méthodes généralement plus riches et plus belles. On arrive parfois à se demander comment aurait-on pu « deviner » l’hypothèse d’induction (pensez à certaines preuves en analyse ou en mathématiques discrètes). Cela laisse à l’occasion un goût amer dans la bouche.
Voici donc une jolie preuve par induction, bien courte, d’un résultat qui semble de prime abord intangible et imperméable à nos lignes d’attaque habituelles.
On trace \(n\) droites dans le plan. Les régions ainsi formées par les \(n\) droites peuvent toujours être coloriées avec deux couleurs, de manière à ce qu’aucune région ait la même couleur que sa ou ses régions voisines, c’est-à-dire les régions qui partagent avec elle un segment de droite comme frontière.
Notre hypothèse d’induction est donc qu’on peut colorier les régions d’un plan contenant \(n\) droites. On considère un plan avec \(n+1\) droites. On enlève une droite parmi les \(n+1\) : il en reste seulement \(n\) et par l’hypothèse, il est possible de colorier les régions du plan formées par les \(n\) droites.
Cette droite sépare le plan en deux demi-plans. On choisit un de ces deux demi-plans et on change systématiquement les couleurs dans chacune des régions de ce demi-plan : les régions noires deviennent blanches et les régions blanches deviennent noires. On laisse l’autre demi-plan (de l’autre côté de la droite) intact. Le plan est maintenant adéquatement colorié !
En effet,Référence : Akiva Moiseevich Yaglom et Isaak Moiseevich Yaglom (1967), Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions Vol. II
