Author: The Dude

Voici une petite contradiction classique concernant la dénombrabilité des réels. Comme le mentionne Dominik dans les commentaires, cela fait changement de la diagonale de Cantor.

On considère l’infinité des nombres réels situés entre \(0\) et \(1\). Supposons que l’on puisse les répertorier et les mettre sur une liste (elle-même infinie), c’est-à-dire les dénombrer… \[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ \dots\]Sur la droite réelle, on décide de recouvrir \(a_{0}\) d’un segment de longueur \(\frac{1}{3}\). On recouvre ensuite \(a_{1}\) d’un segment de longueur \(\frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}\). Puis on recouvre \(a_{2}\) d’un segment de longueur \(\frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{27}\). En général, on recouvre le \(a_{n}\) point d’un segment de longueur \[\frac{1}{3^{n+1}}\]Et on continue de recouvrir de la sorte tous les points entre \(0\) et \(1\). Il y aura fort probablement des « recouvrements » entre les segments mêmes mais cela ne pose aucun problème. Il est aussi possible que des parties de certains de ces segments se retrouvent à l’extérieur de l’intervalle et cela non plus ne cause aucun problème.

En outre, le segment entre \(0\) et \(1\) (au complet et même possiblement un peu plus) sera donc recouvert.

Les cinq premiers nombres réels (par exemple) de notre longue liste et les segments qui les recouvrent.

Quelle est la longueur totale de ces segments mis bout à bout ? La longueur totale correspond à la série géométrique de raison \(\frac{1}{3}\) suivante \begin{align*}\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243} + \ \dots \ &= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{3^{i+1}}\\ \\ &=\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{3^{i}} \\ \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\right) \\ \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\frac{2}{3}}\right) \\ \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right) \\ \\ &=\frac{1}{2}\end{align*}La longueur totale est égale à \(\frac{1}{2}\) ! Est-il donc possible de recouvrir complètement le segment \([0, 1]\) de segments dont la longueur totale n’est que de \(\frac{1}{2}\) ? L’hypothèse de départ, à savoir qu’il est possible de répertorier et faire une liste de tous les réels compris entre \(0\) et \(1\) est fausse ! Il est donc impossible de dénombrer les nombres réels.

Il est cependant possible de recouvrir de la sorte (sans contradiction) un ensemble dénombrable. La longueur des segments peut être choisie arbitrairement petite et incidemment la somme de ces longueurs, la série géométrique, peut être choisie comme arbitrairement petite. Les mathématiciens disent qu’un ensemble dénombrable a une mesure nulle.

En français, on dit que le nombre \(0\) est un nombre (le seul) à la fois positif et négatif. On appelle \(\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots\ \}\) l’ensemble des entiers positifs et \(\{\ \dots \ ,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0\}\) l’ensemble des entiers négatifs. Les francophones ont un mot pour exclure le \(0\) de ces ensembles : l’adverbe strictement. L’ensemble des entiers strictement positifs correspond à \(\{1,\  2,\  3,\ 4,\ \dots\ \}\) et l’ensemble des entiers strictement négatifs correspond à \(\{\ \dots\ ,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1\}\).

Il y a chez les anglophones une différence fondamentale par  au français en ce qui concerne les mots « positif » et « négatif » que l’on pourrait traduire erronément par positive et negative . En anglais, le nombre zéro est un nombre (le seul) qui n’est ni « positif » ni « négatif ». En anglais, donc, l’ensemble des positive integers correspond à \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots\ \}\), sans le zéro, et l’ensemble des negative integers correspond à \(\{\ \dots\ ,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1\}\), sans le zéro. Et à l’instar des francophones, les anglophones ont des mots pour exclure inclure le zéro : puisqu’il n’est ni positif ni négatif, on appelle l’ensemble \(\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots\ \}\) celui des non-negative integers et l’ensemble \(\{\ \dots\ ,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1, \ 0\}\) celui des non-positive integers. Il faut donc traduire « positif » par non-negative et « négatif » par non-positive.

La prudence est donc de mise lorsqu’on lit un texte mathématique dans une autre langue : les énoncés

Soit \(x\) un nombre réel positif

et

Let \(x\) be a positive real number

n’ont pas la même signification ! Je ne sais pas d’où vient cette différence. Je ne sais pas non plus ce qu’il en est dans d’autres langues. Par exemple, dans quelles langues est-ce que zéro est considéré comme positif et négatif ? Comme ni l’un ni l’autre ?

PS. Il y a bien sûr plusieurs autres différences auxquelles on peut s’attarder, mais celle de la nature du zéro est particulièrement intéressante. Pour un francophone, il est facile de croire, à tort, que l’ensemble des non-negative integers correspond à \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots\ \}\) puisque pour lui, zéro est aussi négatif

… pour trouver le nombre de diviseurs d’un nombre sans les compter un à un. C’est une question qui m’a été posée sur les forums cette semaine et qui m’a rappelé ce petit truc que je trouvais bien astucieux.

 Combien de diviseurs possède le nombre 16200 ?

On trouve d’abord la décomposition en facteurs premiers de \(16\,200\)\[ 16\,200 =\, 2^{3}\, \cdot \, 3^{4}\,  \cdot \, 5^{2} \]Un nombre qui divise \(16\,200\) aura dans ses facteurs premiers que des facteurs \(2\) (en au plus trois exemplaires), que des facteurs \(3\) (en au plus quatre exemplaires) et que des facteurs \(5\) (en au plus deux exemplaires). Par exemple,\[54 = \, 2^1 \, \cdot\,  3^3\]est un diviseur de \(16\,200\). Il ne possède pas de facteur premier \(5\), mais ce n’est pas grave. On pourrait même écrire, puisque \(5^0 = 1\),\[54 = \, 2^1 \, \cdot \, 3^3 \, \cdot \, 5^0\]En revanche, les nombres\[4\,860 = \, 2^2 \, \cdot \, 3^5 \, \cdot \, 5^1\]et\[588 = \, 2^2 \, \cdot \, 3^1 \, \cdot \, 7^2\]ne sont pas des diviseurs de \(16\,200\). Le premier possède un facteur \(3\) en trop et le deuxième possède un facteur premier, \(7\), qui ne se trouve pas dans les facteurs premiers de \(16\,200\). Tous les diviseurs de \(16\,200\) sont donc de cette forme\[2^{\alpha}\, \cdot \, 3^{\beta} \, \cdot \, 5^{\gamma}\]

où \(\alpha\) peut prendre l’une des valeurs suivantes : \(0\), \(1\), \(2\) ou \(3\)

où \(\beta\) peut prendre l’une des valeurs suivantes : \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\)

où \(\gamma\) peut prendre l’une des valeurs suivantes : \(0\), \(1\) ou \(2\).

Nous avons donc quatre possibilités pour \(\alpha\), cinq possibilités pour \(\beta\) et trois possibilités pour \(\gamma\). Il y a donc\[4 \, \cdot\,  5 \, \cdot 3 \, = 60\]possibilités au total. Le nombre \(16\,200\) compte \(60\) diviseurs. Notons au passage que dans ces \(60\) diviseurs, on trouve notamment \(1\) lorsque \(\alpha = 0\), \(\beta = 0\) et \(\gamma = 0\) \[2^0 \, \cdot \, 3^0 \, \cdot \, 7^0 \, = 1\]et \(16\,200\) lui-même lorsque \(\alpha =3\), \(\beta = 4\) et \(\gamma = 2\)\[2^3\,  \cdot\,  3^4 \, \cdot\,  7^2 \, = 16\,200\]Nous avons trouvé le nombre de diviseurs de \(16\,200\) sans les compter un à un ! Bien sûr, on aurait pu simplement frapper à la bonne porte ! Mais c’est beaucoup moins amusant…

En général, si \[n = p_{0}^{\alpha} \cdot p_{1}^{\beta} \cdot p_{2}^{\gamma} \ \dots \  p_{i}^{\omega}\]où \(p_{0}\), \(p_{1}\), \(p_{2}\), …  , \(p_{i}\) sont les différents facteurs premiers de \(n\), alors \(n\) compte \[(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \dots (\omega + 1)\]diviseurs.