Racines carrées itérées

Un ancien élève m’a demandé pourquoi sur sa calculatrice, peu importe le nombre qu’il entre, s’il appuie une nombre suffisant de fois sur la touche racine carrée, il finit toujours par obtenir \(1\). Cette publication lui est adressée et fait suite à notre discussion.

Je lui ai d’abord fait remarquer que s’il entre \(0\) comme nombre de départ, il obtiendra \(0\) en appuyant sur la racine carrée (autant de fois qu’il le désire) et non \(1\). Et s’il entre un nombre négatif…

Cela étant dit, si on restreint notre choix de nombre de départ aux nombres strictement positifs, il est vrai qu’on se rapproche aussi près de \(1\) que voulu.

Déplacez le point bleu afin de choisir le nombre de départ.

Une discussion pertinente sur le nombre de chiffres retenus en mémoire par la calculatrice (qui est généralement différent du nombre de chiffres affichés par l’écran de la calculatrice) et la précision des calculs faits par celle-ci s’en est suivie. La calculatrice affiche \(1\) après un certain nombre d’étapes, car elle n’a pas en mémoire une précision arbitraire de chiffres après la virgule : en réalité, on n’atteint pas \(1\), on ne fait que s’en approcher. Ainsi, après de nombreuses étapes, la différence entre la vraie valeur et \(1\) est si petite que la calculatrice n’y voit que du feu : elle affiche \(1\). Grâce à une petite série de calculs simples, nous avons découvert que la calculatrice de l’élève affiche \(10\) chiffres mais semble en garder en mémoire \(12\).

En étudiant séparément les cas où \(0<x<1\) et \(1<x\) et on considérant l’effet de la racine carrée sur \(x\), on arrive à se convaincre intuitivement. Cela dit j’étais un peu embêté d’en discuter sur le champs avec l’élève avec un peu plus de rigueur. Voici peut-être deux approches un peu plus rigoureuses qui ont un certain mérite, sans toutefois tomber dans des considérations pointues de continuité qui seraient considérées dans un cours d’analyse.

La racine carrée comme exposant

Puisque \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), on peut poser \[f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\] puis \begin{align*}f_{(2)}(x) &= \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 2}}}\end{align*}  \begin{align*}f_{(3)}(x) &= \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = \left(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize 3}}}\end{align*} et plus généralement \begin{align*}f_{(n)}(x) &= \underset{n\text{ racines}}{\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\dots \sqrt{\sqrt{x}}}}}}} \\ \\ &= x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}}\end{align*}Ainsi, si \(x \neq 0\), on trouve \begin{align*}\lim_{n \to \infty}f_{(n)}(x) &= \lim_{n \to \infty}x^{\frac{1}{2^{\scriptsize n}}} \\ \\ &= x^{0}\\ \\ &= 1\end{align*}

 

Une simple inéquation

Si \(x>0\), bien sûr \(\frac{x^{2}}{4}>0\), et on a \[1 + x < 1 + x + \frac{x^{2}}{4} = \left(1+\frac{x}{2}\right)^{2}\]Ainsi, en extrayant la racine carrée de chaque côté, \[\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}\]En posant \(y = 1+x\) ou, de manière équivalente, \(x = y-1\), et puisque \(x>0\), pour \(y>1\), on obtient \[\sqrt{y} < 1 + \frac{y-1}{2}\]Cela veut donc dire qu’à chaque itération, la distance entre la valeur de la racine carrée de \(y\) et \(1\) diminue de plus de moitié. Avec les racines successives, on s’approche donc arbitrairement près de \(1.\)

Par exemple, si le nombre de départ est \(49\), alors on est certain de se rapprocher de \(1\) de plus de \[\frac{49-1}{2} = \frac{48}{2} = 24\]Ainsi, \[\sqrt{49}<49-24 = 25\]Bien sûr ce n’est qu’une borne supérieure, en réalité dans cet exemple, la distance diminue de pas mal plus que \(24\) car on sait tous que \(\sqrt{49} =7<25\). Si le nombre de départ est \(10\), alors la distance diminue de plus de \[\frac{10-1}{2} = \frac{9}{2} = 4,\!5\]Effectivement, \[\sqrt{10} \approx 3,\!162 < 10-4,\!5 = 5,\!5\]En extrayant à nouveau la racine carrée, on coupe à nouveau cette distance de plus de moitié et avec les racines itérées, on peut s’approcher arbitrairement près de \(1\).

Le lecteur aguerri aura remarqué qu’il s’agit en fait de manière déguisée de l’inégalité des moyennes arithmétique et géométrique pour deux nombres \[G\leq A\]qui stipule que pour deux nombres positifs \(a\) et \(b\), \[\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\]avec égalité si et seulement si \(a = b\). Il suffit de considérer les valeurs \(a = 1\) et \(b = y>1\) à chaque itération : la moyenne géométrique de \(1\) et de \(y\) est strictement inférieure à la moyenne arithmétique entre \(1\) et ce même nombre : \begin{align*}\sqrt{1\cdot y}&< \frac{1+y}{2} \\ \\ &<\frac{2+1+y-2}{2} \\ \\ &<1+\frac{y-1}{2}\end{align*}Ainsi, puisque \(y>1\), on a \[1<\sqrt{y} <\frac{1+y}{2}\]et une petite réflexion nous convainc que \[1 <\sqrt{\sqrt{y}}<\frac{1+\sqrt{y}}{2}<\sqrt{y}<\frac{1+y}{2}\]

Qu’arrive-t-il si \(0<y<1\) ? C’est moins joli mais il est possible de réduire le cas à celui de \(\frac{1}{y}>1\) car \[\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}\]Puisque les racines itérées de \(\sqrt{\frac{1}{y}}\) s’approche de \(1\), celles de \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) aussi. Et si \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) tend vers \(1\), alors \(\sqrt{y}\) également !