S’il s’est écoulé pas mal de temps avant que j’écrive un nouveau billet, c’est qu’un petit problème génial a occupé une grande partie de mon temps libre.  En effet, il se trouve qu’un de mes collègues a une passion pour les mathématiques toute aussi forte que la mienne.  Voici le problème qu’il m’a envoyé la semaine dernière.  Un problème simple (et connu) mais dont la solution s’avère, on s’en doute, plutôt ardue.  Il s’agit de compter le nombre de triangles équilatéraux que l’on retrouve dans un grand triangle équilatéral de côté n.

Pour n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6Et comme je n’ai trouvé nulle part sur Internet les images des triangles pour les valeurs de n subséquentes, et que de tracer ces triangles à la main est une tâche plutôt ingrate, et que si vous êtes comme moi vous voudrez sûrement dénombrer vous aussi, on a pour n = 7n = 8n = 9et enfin n = 10Non sans effort, vous trouverez peut-être ces résultats :

a(n) est le nombre de triangles dans chaque figure.  Ce qui me frappe d’abord et avant tout c’est… qu’il n’y a effectivement rien de frappant dans les nombres de la colonne de droite.  On ne semble déceler aucune régularité évidente (outre que le nombre de petits triangles d’une unité de côté est toujours égal à ).  Il faut donc chercher plus loin.  On remarque, lors du dénombrement, qu’il y a quelque chose qui s’avère différent si le nombre n est pair ou impair.  Mais il ne s’agit, à cette étape-ci, que d’une conjecture.  D’ailleurs, en ne considérant dans le tableau précédent que les valeurs de n paires (ou impaires), on peut constater que les bonds entre les bonds entre les bonds sont constants (vous trouverez que les bonds entre les bonds entre les bonds valent tous 12).  On peut donc espérer pour l’instant que la ou les règles recherchées soient des polynômes du troisième degré.

Aussi, lorsqu’on compte le nombre de triangles, on tient compte du nombre de triangles des différentes grosseurs.  Par exemple, en considérant n = 5

on s’aperçoit qu’il contient 25 petits triangles de une unité de côté.  Il contient aussi 13 plus grands triangles de 2 unités de côté (ou composés de 4 petits triangles).  Il contient 6 triangles encore plus grands de 3 unités de côté (ou composés de 9 petits triangles).  Il contient 3 grands triangles de quatre unités de côté (ou composés de 16 petits triangles) et finalement 1 triangle de cinq unités de côté (ou composé de 25 petits triangles).  On obtient bien

25 + 13 + 6 + 3 + 1 = 48

Non sans effort, vous pourrez dresser le tableau suivant pour les premières valeurs de n (en comptant séparément les plus petits triangles de côté k) :

Et pourtant, encore une fois, aucune régularité ne semble transparaître (enfin pour moi…)  J’ai soumis ce problème à mes élèves (pour leur montrer qu’un problème simple peut avoir une solution loin d’être triviale) et un de ceux-ci est venu me voir avec ses calculs.  Il avait fait un tableau semblable au miens mais n’avait compté (par mégarde) que les triangles “à l’endroit”, c’est-à-dire ceux qui pointent vers le haut. Ah! Erreur d’un élève ? Nouvelle piste ? Il s’avère que décomposer le problème en un problème de “nombre triangles pointant vers le haut” et “nombre triangles pointant vers le bas” (plutôt que “nombre de triangles de k unités de côté”)  s’avère drôlement fructueux.

Le tableau précédant devient plutôt

Nous allons définir la fonction a comme suit :

dans laquelle u donne le nombre de triangles pointant vers le haut et v le nombre de triangles pointant vers le bas.

Considérons le petit triangle de côté k pointant vers le haut dans ce triangle de côté n.

Le sommet du triangle de côté k doit obligatoirement être dans la région rougeâtre sur le schéma.  Il y a donc un seul triangle à partir du haut, deux sur l’étage immédiatement inférieur, trois sur le suivant et ce jusqu’à au dernier étage.  Mais, justement, combien y a-t-il de ces triangles au dernier étage ? En comptant bien, on trouve

triangles possibles.  Pour un k et un n donnés, il y a donctriangles, ce qui se somme àou plus simplementMaintenant, quelle est la valeur maximale de k ? Bien sûr, c’est n.  On obtient donc

ce qui fait en développantpuis en sortant le facteur 1/2 de la sommationOn obtient dans un premier temps

puis, en se rappelant ceci, on obtient dans un deuxième temps

Suivent ces quelques étapes dans lesquelles on simplifie le tout.  D’abordpuisEn mettant sur dénominateur communet en développanton obtientet finalement en divisant les numérateur et dénominateur par 2

Voilà donc l’expression qui nous donne le nombre de triangle pointant vers le haut.  Il reste à trouver v(n). On considère le petit triangle de côté k pointant vers le bas dans ce triangle de côté n.

Encore une fois, le sommet du triangle de k unités de côté doit obligatoirement se trouver dans la région rougeâtre sur le schéma.  Et, encore une fois, il y a un triangle possible à partir du haut, deux sur l’étage suivant, trois sur celui qui suit, et ce jusqu’au dernier étage.  Ici, au dernier étage, il y aura toujours

triangles possibles.  Cela signifie que pour un k et un n donnés, il y aura donc

triangles, ce qui se somme àou plus simplement

Maintenant, quelle est la valeur maximale de k ? Dans le cas d’un n pair, il est facile de voir que ce sera n/2.  Dans le cas d’un n impair, ce sera plutôt (n – 1)/2.  Voilà où se trouvait la différence entre les n pairs et impairs pressentie à l’étape préliminaire du dénombrement. Dans le cas d’un n pair, on trouve :

ce qui fait en sortant le facteur 1/2 de la sommation

et en développantOn obtient alors dans un premier tempspuisEn développant davantage et simplifiant un peu on obtientce qui faitEn mettant sur dénominateur commun

et en regroupant les termes semblables on trouve finalement

Cette expression nous donne le nombre de triangles pointant vers le bas pour un n pair.  Dans le cas d’un n impair, on aurait plutôt

ce qui fait en sortant le facteur 1/2 de la sommationet en développantDans un premier temps, on aet dans un deuxième

En développant davantage et simplifiant un peu, on obtientpuisen mettant sur dénominateur communet en regroupant les termes semblables

Voilà ! Cette expression nous donne le nombre de triangles pointant vers le bas pour un n impair. Il suffit maintenant de combiner ces résultats afin d’obtenir a(n). On a

Dans le cas d’un n pair, on obtientce qui fait, en mettant sur dénominateur communpuis en regroupant les termes semblablesFinalement en divisant par 3 en haut et en bas, on obtientpour un n pair. Pour un n impair on a plutôt

ce qui fait, en mettant sur dénominateur communpuis en regroupant les termes semblablesFinalement, en divisant par 3 en haut et en bas, on obtient pour un n impair.

Référence : http://mathforum.org/library/drmath/view/54369.html (En résolution de problèmes, il faut parfois étudier un problème connexe moins complexe pour avancer).