Suite à une discussion en classe, un élève est tombé, naviguant sur la toile, sur la Trompette de Gabriel.  Comme il avait un peu de difficulté à saisir le concept, je lui ai proposé cet exemple d’une étonnante simplicité.

Traçons un rectangle de 1 × 1.  Au dessus du rectangle, traçons-en un deuxième de 1 × 1/2.  Au dessus de ce dernier, au autre rectangle : celui là de 1 × 1/4.  Et puis après, un autre rectangle de 1 × 1/8.  Et ainsi de suite.  On prétend continuer ce processus indéfiniment (pour ce que cela peut bien vouloir dire).

On obtient une figure qui ressemble à celle-ci (justement baptisée gratte-ciel par l’élève en question), après 8 itérations

Pour ce qui est du périmètre, aucun doute, celui-là augmente de 2 unités à chaque itération.  Le seul fait qu’on puisse ajouter deux à chaque itération est suffisant pour dire qu’on peut obtenir un périmètre aussi grand que l’on veut.  Il suffit de continuer d’ajouter des étages au gratte-ciel.  En d’autres mots, si le nombre d’itérations tend vers l’infini, le périmètre lui aussi tendra vers l’infini.

Qu’en est-il de l’aire ? L’aire du premier rectangle est égal à

1 × 1 = 1

L’aire du deuxième

1 × 1/2 = 1/2

L’aire du troisième

1 × 1/4 = 1/4

et ainsi de suite.  L’aire de la figure complète sera égale à la somme des aires des rectangles.  Qu’est-elle cette somme ? C’est nul autre que la somme des inverses des puissances de deux !  Et cette somme est bien connue !  C’est 2 !

Le périmètre de ce gratte-ciel (infini) bien particulier est donc infini et son aire, elle, finie.