Quel est le plus grand nombre entre  ou ?

On peut conjecturer que

Si c’est le cas, cela implique notamment que

Une propriété des logarithmes nous permet de transformer l’exponentiation en produit

Et puisque ln(e) = 1, cela donne plus simplement

En divisant par le logarithme de π de chaque côté on obtient

Notez que π étant plus grand que e, ln(π) est positif.  Cela implique que le signe “>” de l’inéquation ne change pas de côté lorsqu’on divise chaque côté par  ln(π).

Maintenant, considérons la fonction f suivante

Cette fonction possède-t-elle un minimum ? Considérons la dérivée première de f(x)

En simplifiant on obtient

Posons-là égale à zéroEn multipliant par ln2(x) de chaque côté on obtient

et en additionnant 1 de chaque côté

On trouve la solution

Il y a donc en x = e un maximum ou un minimum ou un point d’inflexion.

Considérons maintenant la dérivée seconde f”(x)

ce qui fait

puis en simplifiant

En évaluant la dérivée seconde en e on obtient

Comme la dérivée seconde en ce point est positive, on conclut que e est pour cette fonction un minimum et comme e < π, notre conjecture

est donc vérifiée.