Le crible d’Érathostène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel N.  C’est un algorithme simple et efficace.  Voici ce que le génie d’Euler fait d’un algorithme simple et efficace.

 

Considérez la fonction ζ ci-dessusou

On définit cette fonction pour tout s > 1.  En effet pour s = 1, on retrouve la série harmonique, divergente.  Pour des valeurs de s comprises strictement entre 0 et 1, en comparant la série précédente terme à terme  avec la série harmonique, on obtient des dénominateurs systématiquement plus petits, c’est-à-dire des fractions systématiquement plus grandes.  Il n’y a donc aucun doute que la série diverge lorsque s prend des valeurs strictement comprises entre 0 et 1.  Enfin, pour s = 0, on obtient

qui diverge aussi.

Pour des valeurs de s plus grandes que 1, la série converge.  Euler a trouvé plusieurs valeurs exactes lorsque s est pair, notamment lorsque s = 2 (le problème de Bâle), et pour les s impairs il y a encore beaucoup de questions qui résistent à l’assaut des mathématiciens.  Or donc, en reprenant

on commence par multiplier chaque côté par 

ce qui fait en distribuant

On soustrait le résultat précédent à ζ(s)

ce qui fait après une mise en évidence simple

Remarquez les dénominateurs à droite : tous les multiples de 2 disparaissent.  On multiplie le résultat obtenu par 

ce qui fait en distribuant

On soustrait ce nouveau résultat à

afin d’obtenir

Après mise en évidence simple, on a

On avait déjà éliminé tous les multiples de 3 aussi multiples de 2 à la première étape.  Mais il restait les multiples de 3 non multiples de 2. On vient d’éliminer tous ces multiples.  Il ne reste aucun multiple de 3 à droite.  Une régularité commence à apparaître : c’est le crible, version améliorée (puisqu’on élimine les nombres à éliminer qu’une seule fois).  On multiplie le résultat précédent par 

ce qui fait en distribuant

Encore une fois, on soustrait ce dernier résultat à

ce qui donne

et après mise en évidence simple

Tous les multiples de 5 qui restaient, à droite, disparaissent.  À ce moment, dans une étape typiquement eulérienne, Euler explique : en continuant de la sorte aussi longtemps qu’il le faut, en passant tour à tour les nombres premiers, on arrive à

En isolant ζ(s), il obtient

ou plus élégamment

Avec une notation plus concise, on peut même réécrire le résultat précédent comme ceci

ce qui donne

un produit infini étendu à tous les nombres premiers p.

 

En se rappelant aussi que

on obtient cette jolie égalité

une somme infinie à gauche et un produit infini à droite.