… pour trouver le nombre de diviseurs d’un nombre sans les compter un à un.  C’est une question qui m’a été posée sur les forums cette semaine et qui m’a rappelé ce petit truc que je trouvais bien astucieux.

 

 Combien de diviseurs possède le nombre 16200 ?

 

On trouve d’abord la décomposition en facteurs premiers de 16200

Un nombre qui divise 16200 aura dans ses facteurs premiers que des 2 (en au plus trois exemplaires), que des 3 (en au plus quatre exemplaires) et que des 5 (en au plus deux exemplaires).  Par exemple,

est un diviseur de 16200.  Il ne possède pas de facteur premier 5, mais ce n’est pas grave.  On pourrait même écrire, puisque 50 = 1,

En revanche, les nombres

et

ne sont pas des diviseurs de 16200.  Le premier possède un facteur 3 en trop et le deuxième possède un facteur premier, 7, qui ne se trouve pas dans les facteurs premiers de 16200.  Tous les diviseurs de 16200 sont donc de cette forme

où α peut prendre l’une des valeurs suivantes : 0, 1, 2 ou 3

où β peut prendre l’une des valeurs suivantes : 0, 1, 2, 3 ou 4

où γ peut prendre l’une des valeurs suivantes : 0, 1 ou 2.

 

Nous avons donc 4 choix pour α, 5 choix pour β et 3 choix pour γ.  Il y a donc

possibilités au total.  Notons au passage que dans ces 60 diviseurs, on compte notamment 1 lorsque α = 0, β = 0 et γ = 0

et 16200 lui-même lorsque α = 3, β = 4 et γ = 2

Nous avons trouvé le nombre de diviseurs de 16200 sans les compter un à un !  Bien sûr, on aurait pu simplement frapper à la bonne porte !  Mais c’est beaucoup moins amusant…