Voici une belle situation de conjecture qu’on pourrait faire en première secondaire, après avoir vu comment trouver le ppcm et le pgcd de deux nombres. Les situations de conjecture sont au programme, et j’ai l’impression qu’on en fait trop peu souvent. C’est malheureux parce que c’est notamment dans ce genre de situations que les élèves mettent vraiment à profit leur créativité, c’est dans ces situations qu’ils font des mathématiques. Il me semble qu’ils ont parfois cruellement besoin d’un peu plus de ça et d’un peu moins de ça.

On choisit deux nombres entiers positifs. On calcule leur plus grand commun diviseur et leur plus petit commun multiple. Que pouvez-vous dire à propos du produit du ppcm et du pgcd de ces deux nombres ?

Par exemple, en choisissant les nombres 24 et 36, on obtient un pgcd de 12 et un ppcm de 72. Le produit demandé est donc égal à 12 × 72 = 864. Hummmmm… C’est peut-être apparent pour vous et moi, mais des élèves de première ou deuxième secondaire auront certainement besoin de plusieurs autres exemples avant de conjecturer. Il serait donc utile de leur en fournir. Les élèves pourraient aussi eux-mêmes créer des exemples additionnels. On pourrait ainsi vérifier quels élèves utilisent des stratégies efficaces telles que prendre des petits nombres et des nombres premiers entre eux. En refaisant l’exercice avec les nombres 6 et 7, premiers entre eux, on a un pgcd de 1, et donc un ppcm de 6 × 7 = 42. Le produit du ppcm et du pgcd est donc 1 × 42 = 42, c’est-à-dire le produit des deux nombres du départ ! Coïncidence ? Conjecture !

Pour les plus vieux, on peut procéder en deux étapes. On choisit deux nombres a et b. On posethedudeminds_2013012201c’est-à-dire qu’on athedudeminds_2013012202pour certains entiers r et s premiers entre eux. Incidemment, on a aussithedudeminds_2013012203c’est-à-dire s fois le nombre a et r fois le nombre b. Comme s et r n’ont pas de facteur commun, il est impossible de trouver un plus petit multiple commun aux deux nombres. En outre, on a bienthedudeminds_2013012204Le produit du ppcm et du pgcd de deux nombres est égal au produit des deux nombres.