J’adore faire des conjectures avec les élèves. Il y a beaucoup de conjectures simples, avec les nombres entiers, fort pertinentes à présenter. Je discutais avec un collègue qui allait donner la situation suivante à des élèves de deuxième secondaire en cheminement particulier :

Écrivez un nombre à trois chiffres. Faites la somme des chiffres. Soustrayez la somme à votre nombre original.

Les élèves doivent ensuite établir une conjecture sur le résultat (il est important de dire qu’ils ont vu récemment les critères de divisibilité, alors ces outils sont frais dans leur tête).

thedudeminds_2013111502ou

thedudeminds_2013111514

La plupart des élèves y arrivent, enthousiastes, après plusieurs essais, en consignant systématiquement les résultats de leurs essais et leurs diviseurs : le résultat est toujours divisible par 9. La preuve pour cette conjecture (pour les plus vieux) n’est pas difficile. Si le nombre de départ est “abc” alors on a

thedudeminds_2013111501Voilà !

L’intrigue se corse

Pour vérifier si un nombre se divise par 9, on fait la somme de ses chiffres. Si la somme se divise par 9, alors le nombre se divise par 9. Après de nombreux essais, un des élèves y est allé d’une conjecture plus forte : la somme des chiffres du résultat est toujours 9.

Ça fonctionne avec le nombre 231 ci-dessus (qui donne 225 comme résultat, c’est-à-dire qu’on a 2 + 2 + 5  =  9), et ça fonctionnait avec les exemples de l’élève… mais il est effectivement possible de trouver au moins une somme autre que 9 comme avec le nombre 472 ci-dessus (qui donne 459 comme résultat et 4  + 5 + 9 = 18). La conjecture plus forte tombe.

Qu’en est-il dans ce cas ? Est-ce toujours 9 ou 18 ? Ou peut-on trouver une autre somme (toujours divisible par 9)? En essayant de vérifier tout cela pendant la pause du dîner, je me suis rendu compte qu’il fallait considérer quelques petites subtilités. On exprime d’abord le résultat

thedudeminds_2013111503commethedudeminds_2013111504

afin de faire apparaître (tranquillement) les chiffres du nombre “résultat”. Or, on ne peut pas avoir un chiffre “négatif” à la position des unités. On doit “monnayer” des dizaines. En effet, puisquethedudeminds_2013111901(c’est un nombre à trois chiffres) et

thedudeminds_2013111506on athedudeminds_2013111902et on doit, selon les valeurs de a et b monnayer une ou deux dizaines.

Premier cas : 1 ≤ b et 2 ≤ a + b ≤ 10

On doit changer une dizaine en unités.thedudeminds_2013111508

La somme des chiffres donne

thedudeminds_2013111509

Deuxième cas : 2 ≤ b et 11 ≤ a + b ≤ 18

On doit changer deux dizaines.thedudeminds_2013111510La somme des chiffres donnethedudeminds_2013111511

Mais qu’arrive-t-il si on ne peut “monnayer” une ou deux dizaines ? Par exemple si b = 0. On doit emprunter aux centaines !

Troisième cas : b = 0 et donc 1 ≤ a + b ≤ 9

On a besoin d’une dizaine (et une seule) qu’on va chercher dans les centaines.
thedudeminds_2013111512

La somme des chiffres donnethedudeminds_2013111513

Et c’est fini ! C’est le seul cas où on emprunte aux centaines. En effet, si b = 1, on n’a jamais à emprunter deux dizaines (avec a ≤ 9 on a 2 ≤ a + b ≤ 10).

Les deux seules sommes possibles sont donc 9 et 18.