Érudit anonyme

Trouvé sur un tableau du Mathematical Sciences Research Institute à Berkeley, California, et écrit par un érudit anonyme qui possède un sens de l’humour très fin.

Résoudre pour \(x\) : \[x = ax + b\]

Solution : On remplace \(x\) par l’expression qui lui est égale \begin{align*} x&= ax+b \\ \\ &=a(ax + b) + b = a^{2}x + ab + b \\ \\ &= a^{2}(ax + b) + ab + b = a^{3}x + a^{2}b + ab + b \\ \\ &=a^{3}(ax + b) + a^{2}b + ab + b = a^{4}x + a^{3}b + a^{2}b + ab + b \\ \\ &\dots \\ \\ &\text{On suppose |a|<1} \\ \\ &= \lim_{n\to\infty}a^{n}x + b \sum_{i=0}^{\infty}a^{i}\end{align*}Et en exprimant la série géométrique infinie en forme fermée, on obtient \begin{align*}x&= 0\cdot x + b\cdot \frac{1}{1-a} \\ \\ &= \frac{b}{1-a}\end{align*}Ce résultat tient par prolongement analytique pour tout \(a\neq 1\).

Référence : soumis par James Propp, University of Massachusetts Lowell,

Mathematics Magazine, Volume 86, Number 3, June 2013

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