Il faut parfois faire attention de ne pas sauter trop rapidement aux conclusions. Trop habitués aux exercices prévisibles des manuels et cahiers, il peut parfois être déroutant de tomber sur quelque chose de rafraîchissant (au fait, ça en dit long sur les exercices qu’on présente aux élèves).

À l’aide aux devoirs la semaine passée :

Trouver l’aire d’un octogone régulier de côté 1.

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… en deuxième secondaire. La réponse d’un de mes collègues (et la mienne de prime abord, je dois l’avouer) : hummm, il doit y avoir une erreur… c’est un problème de quatrième secondaire, tu as besoin de la trigonométrie (tangente) pour y arriver. En plus, tu n’as pas vu Pythagore… impossible à faire !thedudeminds_2014021402

En effet, en utilisant la tangente pour trouver la mesure de l’apothème, c’est facile. Comment faire autrement, avec pour seuls concepts ceux vus en deuxième secondaire ? Ah ! Mais en utilisant un peu de symétrie, on peut se concentrer sur le quart de la figure.thedudeminds_2014021403
thedudeminds_2014021404On peut compléter la figure pour obtenir un carré. Il suffirait de soustraire l’aire du triangle rectangle blanc au grand carré. Les angles intérieurs et extérieurs sont au programme de deuxième secondaire. L’angle extérieur d’un octogone régulier étant 45°, ce triangle blanc est un triangle rectangle isocèle (on aurait pu aussi réfléchir davantage à la symétrie de la figure au lieu de passer par les angles extérieurs).thedudeminds_2014021405

Comment trouver les dimensions du triangle (sans Pythagore) ? On construit un carré en effectuant la réflexion du triangle. Le carré étant un losange, et l’aire des figures étant au programme de deuxième secondaire, on calcule l’aire du carré avec ses diagonales :thedudeminds_2014030501

et la mesure du son côtéthedudeminds_2014030502

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(en deuxième secondaire on utilise la calculatrice ici.) L’aire du grand carré est donc :thedudeminds_2014030504On soustrait l’aire du triangle (la moitié de l’aire du carré, c’est-à-dire 1/4)thedudeminds_2014030507et on multiplie par 4 pour obtenir l’aire de l’octogone complet

thedudeminds_2014030508Et voilà !