J’adore le blogue Five Triangles (surtout les questions de géométrie) et j’en ai déjà parlé ici. Le sous-titre de ce blogue est unemasculated mathematics for school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts. Ainsi, malgré le réflexe d’utiliser l’artillerie lourde au premier abord (ça fonctionne après tout), il existe souvent (jusqu’à preuve du contraire) un moyen simple et ingénieux de s’en sortir. Dans les problèmes favoris des auteurs, on trouve

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Le pentagone ABEDC ci-dessus est composé de trois triangles isocèles isométriques dont les côtés sont 64, 64 et 48. Quelle est la mesure du segment AE ?

En posant la mesure de l’angle ABC égale à α on peut utiliser la loi des cosinus dans le triangle ABC

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En regroupant les termes constants et en simplifiant, on obtientthedudeminds_2014071404

Hummm, la fraction réduitethedudeminds_2014071405n’est pas une valeur remarquable pour le cosinus. Cela est un peu problématique car en utilisant la loi des cosinus dans le triangle ABE, on obtient

thedudeminds_2014071406

ou

thedudeminds_2014071407

et on doit trouver une valeur pour cos(3α) en fonction de celle de cos(α). Un peu fastidieux, mais encore, pas de problème ! En se rappelant les formules d’addition d’anglesthedudeminds_2014071408etthedudeminds_2014071409

et en les applicant deux fois, on peut obtenir une formule du cosinus de l’angle triple. Dans un premier temps, on obtient celle de l’angle double

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et comme thedudeminds_2014071412on peut remplacer et obtenirthedudeminds_2014071413

Quant au sinus, on trouve pour l’angle doublethedudeminds_2014071414

Enfin, en réutilisant la formule d’addition d’angles pour le cosinus, on obtient le cosinus de l’angle triplethedudeminds_2014071415

En utilisant encore la substitutionthedudeminds_2014071412on obtientthedudeminds_2014071416

En outre, thedudeminds_2014071407devientthedudeminds_2014071417

et puisquethedudeminds_2014071405 on trouvethedudeminds_2014071418Un peu d’arithmétique nous donne

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et on trouve, ô surprise, une mesure entière pour le segment AEthedudeminds_2012093001

Bien sûr, c’est décevant. Un si beau nombre. Entier. Et une démarche si compliquée ! Peut-on faire plus simple ?

En plaçant la figure dans un plan cartésien, on peut ramener le problème à résoudre un système d’équations du deuxième degré.thedudeminds_2014071423
Avec Pythagore, on peut trouver l’ordonnée de B

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et on garde la valeur positive. Les équations des cercles sontthedudeminds_2014071422

On peut isoler y2 dans la première équationthedudeminds_2014071427et substituer dans la deuxième

thedudeminds_2014071428En divisant par 16, le facteur commun, thedudeminds_2014091801puis en élevant au carré et en substituant y2 à nouveauthedudeminds_2014091802

En divisant par 32 on obtient
thedudeminds_2014071431On peut calculer le discriminantthedudeminds_2014071433

Sans surprise 27225 est un carré (après tout, -48 est une solution connue). Avec la formule quadratique, on obtient pour valeurs de x thedudeminds_2014091803

ou de manière équivalentethedudeminds_2014091804

Si la première solution est connuethedudeminds_2014091805

la deuxième, elle, nous permet de répondre (à nouveau) à la questionthedudeminds_2014091806

En effet, la distance AE correspond à thedudeminds_2014091807

Plus élémentaire ? Peut-être. Plus simple ? C’est discutable. On pourrait faire un peu mieux, en calquant la deuxième démarche mais en évacuant le plan cartésien et les équations de cercles et en remplaçant le tout avec une grosse dose de Pythagore. Cela ferait plus “school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts” que les démarches précédentes, mais il me semble que la route est longue et aride.

Alors la question : quelle savante astuce nous permet de “voir” le 117 ?

Mise à jour :

Merci à Manuel qui, dans les commentaires, partage une solution simple !

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Dans le triangle isocèle ABC, la mesure de l’angle ACB estthedudeminds_2015010502

Dans le triangle isocèle ABE, la mesure de l’angle BAE est thedudeminds_2015010503

Dans le triangle AFB, la mesure de l’angle AFB estthedudeminds_2015010504

L’angle AFC et AFB étant adjacents supplémentaires, la mesure de l’angle AFC estthedudeminds_2015010505

Le triangle ACF est donc isocèle et pour reprendre l’explication de Manuel,

AF = 48 et le triangle ACF est semblable à ABC avec un coefficient de proportionnalité de 9/16, d’où CF = 36 et, par Thalès, dans ACD, FG = 21.
Donc AE = 48 + 21 + 48 = 117.