Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

J’adore le blogue Five Triangles (surtout les questions de géométrie) et j’en ai déjà parlé ici. Le sous-titre de ce blogue est unemasculated mathematics for school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts. Ainsi, malgré le réflexe d’utiliser l’artillerie lourde au premier abord (ça fonctionne après tout), il existe souvent (jusqu’à preuve du contraire) un moyen simple et ingénieux de s’en sortir. Dans les problèmes favoris des auteurs, on trouve

Le pentagone ABEDC ci-dessus est composé de trois triangles isocèles isométriques dont les côtés sont 64, 64 et 48. Quelle est la mesure du segment AE ?

En posant la mesure de l’angle ABC égale à α on peut utiliser la loi des cosinus dans le triangle ABC

En regroupant les termes constants et en simplifiant, on obtient

Hummm, la fraction réduiten’est pas une valeur remarquable pour le cosinus. Cela est un peu problématique car en utilisant la loi des cosinus dans le triangle ABE, on obtient

ou

et on doit trouver une valeur pour cos(3α) en fonction de celle de cos(α). Un peu fastidieux, mais encore, pas de problème ! En se rappelant les formules d’addition d’angleset

et en les applicant deux fois, on peut obtenir une formule du cosinus de l’angle triple. Dans un premier temps, on obtient celle de l’angle double

et comme on peut remplacer et obtenir

Quant au sinus, on trouve pour l’angle double

Enfin, en réutilisant la formule d’addition d’angles pour le cosinus, on obtient le cosinus de l’angle triple

En utilisant encore la substitutionon obtient

En outre, devient

et puisque on trouveUn peu d’arithmétique nous donne

et on trouve, ô surprise, une mesure entière pour le segment AE

Bien sûr, c’est décevant. Un si beau nombre. Entier. Et une démarche si compliquée ! Peut-on faire plus simple ?

En plaçant la figure dans un plan cartésien, on peut ramener le problème à résoudre un système d’équations du deuxième degré.
Avec Pythagore, on peut trouver l’ordonnée de B

et on garde la valeur positive. Les équations des cercles sont

On peut isoler y² dans la première équationet substituer dans la deuxième

En divisant par 16, le facteur commun, puis en élevant au carré et en substituant y² à nouveau

En divisant par 32 on obtient
On peut calculer le discriminant

Sans surprise 27225 est un carré (après tout, -48 est une solution connue). Avec la formule quadratique, on obtient pour valeurs de x 

ou de manière équivalente

Si la première solution est connue

la deuxième, elle, nous permet de répondre (à nouveau) à la question

En effet, la distance AE correspond à 

Plus élémentaire ? Peut-être. Plus simple ? C’est discutable. On pourrait faire un peu mieux, en calquant la deuxième démarche mais en évacuant le plan cartésien et les équations de cercles et en remplaçant le tout avec une grosse dose de Pythagore. Cela ferait plus “school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts” que les démarches précédentes, mais il me semble que la route est longue et aride.

Alors la question : quelle savante astuce nous permet de “voir” le 117 ?

Mise à jour :

Merci à Manuel qui, dans les commentaires, partage une solution simple !

Dans le triangle isocèle ABC, la mesure de l’angle ACB est

Dans le triangle isocèle ABE, la mesure de l’angle BAE est 

Dans le triangle AFB, la mesure de l’angle AFB est

L’angle AFC et AFB étant adjacents supplémentaires, la mesure de l’angle AFC est

Le triangle ACF est donc isocèle et pour reprendre l’explication de Manuel,

AF = 48 et le triangle ACF est semblable à ABC avec un coefficient de proportionnalité de 9/16, d’où CF = 36 et, par Thalès, dans ACD, FG = 21.
Donc AE = 48 + 21 + 48 = 117.