Surprise !

En quatrième secondaire on travaille avec les élèves les conditions minimales de similitude des triangles.  Une attention particulière est portée aux relations métriques dans les triangles rectangles dans lesquels on a tracé la hauteur issue de l’angle droit (ou la hauteur relative à l’hypoténuse).  Voici un petit résultat qui fait changement des exercices du manuel.  Les élèves apprécient.

Considérez le triangle rectangle \(ABC\) ci-dessous (rectangle en \(C\))

On trace la hauteur issue de l’angle droit.  Elle coupe \(\overline{AB}\) de façon perpendiculaire en \(D\).  Le “petit” triangle \(ACD\) et le “grand” triangle \(ABC\) sont tous les deux rectangles et partagent tous les deux l’angle \(A\).  Il sont donc semblables par le cas de similitude AA. \[\triangle ABC \sim \triangle ACD\]Les côtés homologues des triangles semblables sont dans le même rapport.  Considérons les “petites” cathètes et les hypoténuses des deux triangles.  On obtient la proportion suivante\[\frac{m\overline{AC}}{m\overline{AD}} = \frac{m\overline{AB}}{m\overline{AC}}\]de laquelle on tire \[\left(m\overline{AC}\right)^{2} = m\overline{AB}\cdot m\overline{AD}\]Le “moyen” triangle \(CBD\) et le “grand” triangle \(ABC\) sont tous les deux rectangles et partagent tous les deux l’angle \(B\).  Il sont donc semblables par le cas de similitude AA.\[\triangle ABC \sim \triangle CBD\]En considérant les “grandes” cathètes et les hypoténuses des deux triangles, on obtient la proportion suivante\[\frac{m\overline{BC}}{m\overline{BD}} = \frac{m\overline{AB}}{m\overline{BC}}\]de laquelle on tire \[\left(m\overline{BC}\right)^{2}=m\overline{AB}\cdot m\overline{BD}\]En additionnant les deux résultats précédents on obtient \[\left(m\overline{AC}\right)^2 + \left(m\overline{BC}\right)^2 = m\overline{AB}\cdot m\overline{AD} + m\overline{AB}\cdot m\overline{BD}\]et en effectuant la mise en évidence simple à droite\[\left(m\overline{AC}\right)^2 + \left(m\overline{BC}\right)^2 = m\overline{AB}\cdot \left(m\overline{AD} + m\overline{BD}\right)\]Les segments \(AD\) et \(BD\) forment justement le segment \(AB\), l’hypoténuse du grand triangle rectangle.  On a donc en substituant \[\left(m\overline{AC}\right)^2 + \left(m\overline{BC}\right)^2 = m\overline{AB}\cdot m\overline{AB}\]ou tout simplement \[\left(m\overline{AC}\right)^2 + \left(m\overline{BC}\right)^2 = \left(m\overline{AB}\right)^2 \]… la relation de Pythagore ! \[a^2 + b^2 = c^2\]

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