La forme canonique de la fonction exponentielle est
où c est la base de la fonction de la fonction exponentielle (strictement positive et différente de 1). On utilise les lettres usuelles a, b, h, k pour désigner les paramètres multiplicatifs et additifs des variables dépendantes et indépendantes. Comme avec bien d’autres fonctions, il s’avère que certains paramètres sont superflus. En transformant le produit à l’exposant en exponentiation, on obtient
Il nous est donc possible de choisir une nouvelle base, c1, telle que
Notre fonction initiale devient alors
En transformant la somme à l’exposant en produit de deux puissances de même base on obtient
que je réécris comme
Il nous est maintenant possible de choisir un nouveau paramètre a, appelons-le a1, tel que
Notre fonction devient alors
que j’appellerai la forme canonique réduite de la fonction exponentielle. Il est donc toujours possible de poser b = 1 et h = 0 dans le cas d’une fonction exponentielle en jouant avec le paramètre a et la base.
Qu’en est-il de la fonction logarithmique, la réciproque de la fonction exponentielle ? La forme canonique de la fonction logarithmique est
où, encore une fois, c est la base de la fonction logarithmique (strictement positive et différente de 1).
Cette fonction possèdent-elles des paramètres superflus ? Avec l’exponentielle, nous avions d’abord effectué un changement de base. On change donc la base de la fonction logarithmique pour la nouvelle base c1. La loi du changement de base avec les logarithmes nous donne
que je réécris comme
En posant le coefficient égal à 1
et en isolant le logarithme, on obtient
En transformant sous la forme exponentielle on obtient
Et en isolant c1 on obtient
c’est-à-dire
si a est positif et
si a est négatif.
En choisissant la bonne base, il est donc toujours possible de rendre le paramètre a = 1. En effet, en choisissant c1 de telle manière, notre fonction initiale devient
Notons ensuite que par définition de logarithme, on a
(et, au passage, pas de problème si k est négatif).
En remplaçant dans
on obtient
En exprimant la somme des deux logarithmes avec le logarithme du produit on obtient
En choisissant un nouveau paramètre b, appelons-le b1, tel que
notre fonction initiale devient
que j’appelle la forme canonique réduite de la fonction logarithmique.