Problème : il faut factoriser \[6x^{2}-13x-5\]
Avec de petits nombres entiers, une des premières méthodes que l’on montre aux élèves est la méthode somme-produit. On cherche deux nombres dont la somme est \(-13\) et le produit est \(6 \times(-5)=-30\). Comme le produit est négatif, je cherche deux nombres de signes contraires. Après avoir cherché du côté des facteurs de \(30\), je trouve \(-15\) et \(2\). En effet, \[-15+2=-13\]et \[-15 \times 2=-30\]Je peux donc « désimplifier » le terme en \(x\) et écrire \[6x^{2}+2x-15x-5\]afin d’effectuer une mise en évidence double. C’est-à-dire \[2x(3x+1)-5(3x+1)\]puis \[(3x+1)(2x-5)\]Or, comme le mentionne avec pertinence James Tanton, si on demande à des enseignants du secondaire
pourquoi ça marche ?
on obtient généralement une réponse qui ressemble à ceci : on commence avec \[(ax+b)(cx+d)\]où \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\) sont des entiers. On effectue le produit \[ax^{2}+(ad+bc)x + bd\]Le coefficient du terme du premier degré est composé de la somme de deux nombres, à savoir \(ad\) et \(bc\). On voit aussi que le produit du coefficient du terme du deuxième degré et du terme constant est égal au produit de ces deux nombres \[ad \cdot bc = ac \cdot bd\]la multiplication étant commutative et associative.
Et voilà pourquoi ça marche !
Or cela ne répond pas effectivement à la question. On montre en réalité la réciproque de l’énoncé initial. Comme le souligne Tanton, il serait important (au moins pour l’enseignant, pas pour l’élève) de montrer l’implication directe. C’est-à-dire que si l’on a \[ax^{2}+bx+c\]et que \[b = p+q\]et \[ac = pq\]et où \(a\), \(b\), \(c\), \(p\) et \(q\) sont des entiers, alors le trinôme se décompose en deux facteurs à coefficients entiers.
On a donc \[ax^{2}+(p+q)x+c\] \[ax^{2}+px+qx+c\]On pose \(j\) comme le plus grand commun diviseur de \(a\) de \(p\). On a donc \[a = jk\]pour un certain entier \(k\). Comme \(ac = pq\), on a \[jkc = pq\]Évidemment, \(j\) divise \(p\), donc \(\frac{p}{j}\) est un entier. Or, comme \(k\) ne divise pas \(\frac{p}{j}\) , mais que \[kc = \frac{p}{j}q\]alors on a que \(k\) divise \(q\). C’est-à-dire que \(\frac{q}{k}\) est aussi un entier et que \[c = \frac{p}{j} \cdot \frac{q}{k}\]On a donc \[jkx^{2}+px + qx + \frac{p}{j}\cdot \frac{q}{k}\]et en effectuant une mise en évidence double \[jx\left(kx + \frac{p}{j}\right) + \frac{q}{k}\left(kx + \frac{p}{j}\right)\]on obtient \[\left(kx + \frac{p}{j}\right)\left(jx+\frac{q}{k}\right)\]c’est-à-dire deux facteurs à coefficients entiers.
On tire donc \begin{align*}f(p)&=f(p) \\ \\ f(p+1) &= f(p) + \Delta_{1} \\ \\ f(p+2) &= f(p) + \Delta_{1}+\Delta_{2} \\ \\ f(p+3) &= f(p) + \Delta_{1} + \Delta_{2} + \Delta_{3} \\ \\ f(p+4)&=f(p)+\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}+\Delta_{4} \\ \\ &\dots\end{align*}
On aura, en prenant \(a=3\), \(p=8\), \(f(p) = 62\) et \(\Delta_{1}=36\), \[f(x) = 3x^{2}+(36-3-2\cdot3\cdot 8)x + (62 + 3\cdot 8^{2}+3\cdot 8-36 \cdot 8)\]ce qui correspond à \[f(x) = 3x^{2}-15x-10\]la règle de la fonction quadratique.