Author: The Dude

Le crible d’Érathostène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel \(N\). C’est un algorithme simple et efficace. Voici ce que le génie d’Euler fait d’un algorithme simple et efficace.

Considérez la fonction \(\zeta\) ci-dessus \[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\]ou \[\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{8^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{10^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{12^{s}} + \, \dots\]On définit cette fonction pour tout \(s>1\). En effet pour \(s=1\), on retrouve la série harmonique, divergente. Pour des valeurs de \(s\) comprises strictement entre \(0\) et \(1\), en comparant la série précédente terme à terme avec la série harmonique, on obtient des dénominateurs systématiquement plus petits, c’est-à-dire des fractions systématiquement plus grandes. Il n’y a donc aucun doute que la série diverge lorsque s prend des valeurs strictement comprises entre \(0\) et \(1\). Enfin, pour \(s=0\), on obtient \[\zeta(0) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \, \dots\]qui diverge aussi.

Pour des valeurs de \(s\) plus grandes que \(1\), la série converge. Euler a trouvé plusieurs valeurs exactes lorsque \(s\) est pair, notamment lorsque \(s=2\) (le problème de Bâle), et pour les \(s\) impairs il y a encore beaucoup de questions qui résistent à l’assaut des mathématiciens. Or donc, en reprenant \[\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{8^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{10^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{12^{s}} + \, \dots \]on commence par multiplier chaque côté par \(\dfrac{1}{2^{s}}\) \[\left(\frac{1}{2^{s}}\right) \zeta(s) = \left(\frac{1}{2^{s}}\right)\left(1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{8^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{10^{s}}+ \, \dots \right)\]ce qui fait en distribuant \[\left(\frac{1}{2^{s}}\right) \zeta(s) = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \frac{1}{8^{s}} + \frac{1}{10^{s}} + \frac{1}{12^{s}} + \frac{1}{14^{s}} + \frac{1}{16^{s}} + \frac{1}{18^{s}} + \, \dots \]On soustrait le résultat précédent à \(\zeta(s)\) \[\zeta(s)-\left(\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{9^{s}} +\frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{15^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}} + \, \dots \]ce qui fait après une mise en évidence simple à gauche\[\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{9^{s}} +\frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{15^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}} + \, \dots\]Remarquez les dénominateurs à droite : tous les multiples de \(2\) disparaissent. On multiplie le résultat obtenu par \(\dfrac{1}{3^{s}}\) \[\left(\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = \left(\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{15^{s}} + \frac{1}{17^{s}} +\, \dots \right)\]ce qui fait en distribuant\[\left(\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{15^{s}} + \frac{1}{21^{s}} + \frac{1}{27^{s}} +\frac{1}{33^{s}} + \frac{1}{39^{s}} + \frac{1}{45^{s}} +\, \dots \]On soustrait ce nouveau résultat à\[\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{9^{s}} +\frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{15^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}} + \, \dots\]afin d’obtenir\[\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s)-\left(\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s)=1 + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \, \dots \]Après mise en évidence simple, on a \[\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\, \dots\]On avait déjà éliminé tous les multiples de \(3\) qui sont aussi des multiples de \(2\) à la première étape. Mais il restait les multiples de \(3\) non multiples de \(2\). Là on vient d’éliminer tous ces multiples. Il ne reste aucun multiple de \(3\) aux dénominateurs, à droite. Une régularité commence à apparaître : c’est le crible, version améliorée (puisqu’on élimine les nombres à éliminer qu’une seule fois). On multiplie le résultat précédent par \(\dfrac{1}{5^{s}}\) \[\left(\frac{1}{5^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = \left(\frac{1}{5^{s}}\right) \left(1+\frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}}+\, \dots\right)\]ce qui fait en distribuant \[\left(\frac{1}{5^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{25^{s}}+ \frac{1}{35^{s}} + \frac{1}{55^{s}} + \frac{1}{65^{s}} + \frac{1}{85^{s}} + \, \dots \]Encore une fois, on soustrait ce dernier résultat à \[\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\, \dots\]ce qui donne \begin{align*}\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s)-\left(\frac{1}{5^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1- \frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) &=\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) \\ \\ &= 1 + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{17^{s}} + \frac{1}{19^{s}} + \, \dots \end{align*}

Ainsi dans\[\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} + \frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+ \, \dots \]ous les multiples de \(5\) qui restaient aux dénominateurs, à droite, disparaissent. À ce moment, dans une étape typiquement eulérienne, Euler explique : en continuant de la sorte aussi longtemps qu’il le faut, en passant tour à tour les nombres premiers, on arrive à \[\dots \, \left(1-\frac{1}{13^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{11^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{7^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1\]En isolant \(\zeta(s)\), il obtient \[\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{7^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{11^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{13^{n}}\right) \, \dots}\]ou plus élégamment \[\zeta(s) = \frac{1}{1-\cfrac{1}{2^{s}}} \times \frac{1}{1-\cfrac{1}{3^{s}}} \times \frac{1}{1-\cfrac{1}{5^{s}}}\times \frac{1}{1-\cfrac{1}{7^{s}}} \times \frac{1}{1-\cfrac{1}{11^{s}}} \times \frac{1}{1-\cfrac{1}{13^{s}}} \times \, \dots \]Avec une notation plus concise, on peut même réécrire le résultat précédent comme ceci \[\zeta(s) = \left(1-2^{-s}\right)^{-1}\left(1-3^{-s}\right)^{-1}\left(1-5^{-s}\right)^{-1}\left(1-7^{-s}\right)^{-1}\left(1-11^{-s}\right)^{-1}\left(1-13^{-s}\right)^{-1} \, \dots \]ce qui donne \[\zeta(s) = \prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}\]un produit infini étendu à tous les nombres premiers \(p\).

En se rappelant aussi que \[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\]on obtient cette jolie égalité\[\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} = \prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}\]une somme infinie à gauche et un produit infini à droite.

Le théorème de Von Aubel

Dans un quadrilatère quelconque, on construit quatre carrés extérieurs aux quatre côtés du quadrilatère. Le théorème de Von Aubel nous dit que les segments qui joignent les centres des carrés opposés sont de même longueur et se croisent perpendiculairement.

Dans la figure suivante, quatre carrés dont les centres sont \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\) et \(P_{4}\) sont construits sur les côtés du quadrilatère \(ABCD\).

Selon le théorème, on a donc \[m\overline{P_{1}P_{3}} = m\overline{P_{2}P_{4}}\]et \[P_{1}P_{3}\perp P_{2}P_{4}\]Je vous conseille d’ouvrir la figure dynamique ici. Notez que le quadrilatère peut être concave et même croisé.

Le théorème de Von Aubel est souvent abordé comme un exercice dans le plan complexe. Il peut aussi être vu beaucoup plus tôt avec pour seuls outils quelques notions de géométrie analytique.

Considérons dans un premier temps le carré \(RSTU\) suivant

dans lequel les coordonnées de \(R\) et \(S\) sont respectivement \((x_{1},\, y_{1})\) et \((x_{2},\, y_{2})\).

On exprime d’abord les coordonnées de \(T\) en fonction des coordonnées de \(R\) et \(S\).

Les coordonnées de \(T\) sont donc \[T(x_{2}+y_{1}-y_{2},\, y_{2}+x_{2}-x_{1})\]Par la suite, on détermine les coordonnées du point milieu de la diagonale (le point \(M\) sur l’illustration).

Les coordonnées de \(M\) sont \[M\left(\frac{x_{1}+x_{2}+y_{1}-y_{2}}{2},\, \frac{y_{1}+y_{2}+x_{2}-x_{1}}{2}\right)\]Considérons le quadrilatère \(ABCD\) suivant et construisons les carrés de centre \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\) et \(P_{4}\) sur les côtés extérieurs du quadrilatère.

En posant les coordonnées \[A(a, \, b), \, B(c,\, d),\, C(e,\, f), \, D(g, h)\]on peut exprimer les coordonnées de \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\) et \(P_{4}\) : \begin{align*}&P_{1}\left(\frac{a+b+c-d}{2}, \, \frac{b+c+d-a}{2}\right) \\ \\ &P_{2}\left(\frac{c+d+e-f}{2},\, \frac{d+e+f-c}{2}\right) \\ \\ &P_{3}\left(\frac{e+f+g-h}{2},\, \frac{f+g+h-e}{2}\right) \\ \\ &P_{4}\left(\frac{g+h+a-b}{2},\, \frac{h+a+b-g}{2}\right)\end{align*}Il nous est possible de calculer la pente de \(P_{1}P_{3}\) :\[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{\cfrac{b+c+d-a}{2}-\cfrac{f+g+h-e}{2}}{\cfrac{a+b+c-d}{2}-\cfrac{e+f+g-h}{2}}\]ce qui fait en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(2\) \[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{b+c+d-a-f-g-h+e}{a+b+c-d-e-f-g+h}\]ou \[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{a+b+c+h-(d+e+f+g)}\]On calcule par la suite la pente de \(P_{2}P_{4}\) \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{\cfrac{d+e+f-c}{2}-\cfrac{h+a+b-g}{2}}{\cfrac{c+d+e-f}{2}-\cfrac{g+h+a-b}{2}}\]ce qui fait encore une fois \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{d+e+f-c-h-a-b+g}{c+d+e-f-g-h-a+b}\]et donc \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{d+e+f+g-(a+b+c+h)}{b+c+d+e-(a+f+g+h)}\]Cette fois-ci on met en évidence un facteur \((-1)\) au numérateur \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = \frac{(-1)(a+b+c+h-(d+e+f+g))}{b+c+d+e-(a+f+g+h)}\]ce qui donne en réécrivant \[\text{pente}(P_{2}P_{4}) = (-1) \cdot \frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{b+c+d+e-(a+f+g+h)}\]c’est à dire l’opposé de l’inverse de ce que l’on avait obtenu pour la pente de \(P_{1}P_{3}\) \[\text{pente}(P_{1}P_{3}) = \frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{a+b+c+h-(d+e+f+g)}\]Et des droites dont les pentes sont l’opposé de l’inverse l’une de l’autre sont perpendiculaires !

Pour ce qui est des mesures des segments. Il nous est possible d’exprimer la mesure du segment \(P_{1}P_{3}\) \[m\overline{P_{1}P_{3}} = \sqrt{\left(\frac{a+b+c-d}{2}-\frac{e+f+g-h}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+c+d-a}{2}-\frac{f+g+h-e}{2}\right)^{2}}\]ce qui fait \[m\overline{P_{1}P_{3}} = \sqrt{\left(\frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}}\]Il serait possible de simplifier davantage l’expression précédente mais cela ne nous sera pas nécessaire. De la même manière, on exprime ensuite la mesure du segment \(P_{2}P_{4}\) \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{c+d+e-f}{2}-\frac{g+h+a-b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{d+e+f-c}{2}-\frac{h+a+b-g}{2}\right)^{2}}\]ce qui fait \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}+\left(\frac{d+e+f+g-(a+b+c+h)}{2}\right)^{2}}\]Et comme on l’avait fait précédemment, on met en évidence un facteur \((-1)\) au numérateur de la deuxième fraction \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2} + \left((-1)\cdot \frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}}\]Le carré d’un produit étant égal au produit des carrés on obtient \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}+(-1)^{2}\left(\frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}}\]et enfin comme \((-1)^{2}\) est tout simplement égal à \(1\), on a \[m\overline{P_{2}P_{4}} = \sqrt{\left(\frac{b+c+d+e-(a+f+g+h)}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a+b+c+h-(d+e+f+g)}{2}\right)^{2}}\]c’est-à-dire \[m\overline{P_{1}P_{3}} = m\overline{P_{2}P_{4}}\]Voilà !

Voici une solution simple et élégante au problème difficile suivant : découpez un carré en triangles acutangles. Si vous n’aviez jamais rencontré ce problème, je vous conseille de chercher un peu par vous-même. C’est plus difficile que ça en a l’air ! Commencez peut-être par chercher une solution à \(14\) triangles ou plus.

La solution suivante vient de David Eppstein et elle ne comporte que \(8\) triangles (pourrait-on trouver une solution comportant moins de \(8\) triangles ?)

Considérons le carré \(ABCD\). Identifiez les points milieux \(E\) de \(\overline{AD}\), \(G\) de \(\overline{CD}\), \(F\) de \(\overline{BC}\) et \(J\) de \(\overline{AB}\). Identifiez aussi les points milieux \(H\) de \(\overline{DG}\) et \(I\) de \(\overline{CG}\). Tracez ensuite les cercles de centre \(E\) et de rayon \(AE\), de centre \(F\) et de rayon \(BF\), de centre \(H\) et de rayon \(DH\) et de centre \(I\) et de rayon \(CI\). Tel qu’illustré ci-dessous, considérez un point \(K\) dans la zone extérieure aux quatre cercles. Considérez aussi un deuxième point \(L\) dans cette même zone, de l’autre côté de \(\overline{GJ}\) que \(K\), et de telle sorte que le segment \(KL\) soit parallèle à \(\overline{DC}\).

 

Puisque le point \(K\) est à l’extérieur des cercles, cela nous assure que les angles \(DKG\) ou \(DKA\) sont aigus. La même chose s’applique au point \(L\). La solution est donc composée des triangles suivants, qui sont tous définitivement acutangles !