Author: The Dude

[ce billet a été en partie réécrit et mis à jour après sa publication initiale]

Quel est le plus grand nombre entre \(e^{\pi}\) ou \(\pi^{e}\) ?

Considérons la fonction \(f\) suivante \[f(x) = \frac{x}{\ln(x)}\]Cette fonction possède-t-elle un minimum ? Considérons la dérivée première de \(f(x)\) \[f'(x) = \frac{(1)\ln(x)-x\left(\frac{1}{x}\right)}{\ln^{2}(x)}\]En simplifiant on obtient \[f'(x) = \frac{\ln(x)-1}{\ln^{2}(x)}\]Posons-là égale à zéro \[\frac{\ln(x)-1}{\ln^{2}(x)} = 0\]En multipliant par \(\ln^{2}(x)\) de chaque côté on obtient \[\ln(x)-1= 0\]et en additionnant \(1\) de chaque côté \[\ln(x) = 1\]On trouve la solution\[x = e\]Il y a donc en \(x =e\) un maximum ou un minimum ou un point d’inflexion. Considérons maintenant la dérivée seconde \[f^{\prime \prime}(x)\ = \frac{\frac{1}{x}\cdot \ln^{2}(x)-\left(\ln(x)-1\right)\left(\frac{2\ln(x)}{x}\right)}{\ln^{4}(x)}\]ce qui fait \[f^{\prime \prime}(x) = \frac{\frac{\ln^{2}(x)}{x}-\frac{2\ln^{2}(x)}{x}+\frac{2\ln(x)}{x}}{\ln^{4}(x)}\]puis en simplifiant \[f^{\prime \prime}(x) = \frac{2-\ln(x)}{x\ln^{3}(x)}\]En évaluant la dérivée seconde en \(e\), on obtient\[f^{\prime \prime}(e) = \frac{2-\ln(e)}{e\ln^{3}(e)} = \frac{2-1}{e} = \frac{1}{e}>0\]Comme la dérivée seconde en ce point est positive, on conclut que \(e\) est pour cette fonction un minimum. Ainsi, on trouve d’abord \[\frac{e}{\ln(e)}<\frac{\pi}{\ln(\pi)}\]et puisque \(\ln(e) = 1\) et \(\ln(\pi)>0\) car \(e < \pi \), on trouve \[\frac{e}{\ln(e)} < \frac{\pi}{\ln(\pi)}\] \[e\ln(\pi) < \pi \ln(e)\]et en utilisant une propriété des logarithmes, \[\ln\left(\pi^{e}\right)<\ln\left(e^{\pi}\right)\]ce qui implique \[\pi^{e} < e^{\pi}\]

Mon ami François C. m’a refilé ce lien génial

https://vimeo.com/vihart

La preuve de la formule quadratique n’est jamais facile à faire ni à comprendre pour les élèves de quatrième secondaire. Elle tombe d’ailleurs généralement assez rapidement dans l’oubli (la preuve, pas la formule). J’ai donné plus tôt ces deux démonstrations. Dans la première, classique, on met \(a\) en évidence et on complète le carré. Dans la deuxième, on utilise un changement de variable pour faire disparaître le terme du premier degré. En voici une troisième particulièrement élégante. On complète ici aussi le carré.

On a \[ax^2 + bx + c = 0\]Afin d’obtenir un carré parfait, on voudrait que le premier terme soit un carré. \(x\) est déjà au carré alors on multipliera chaque terme par \(a\) afin d’obtenir \[a^{2}x^{2}+abx + ac = 0\]On voudrait ensuite que le coefficient du deuxième terme soit pair pour ne pas s’empêtrer inutilement de fractions. On pourrait donc multiplier chaque terme par \(2\). Sauf qu’en multipliant par \(2\), le premier terme ne serait plus un carré. On décide donc de multiplier chaque terme par le plus petit carré pair, c’est-à-dire par \(4\). On obtient \[4a^{2}x^{2}+4abx + 4ac = 0\]Si l’expression de gauche est un carré, alors le premier terme est un carré de côté \(2ax\) tel que représenté dans l’illustration suivante

Les deux rectangles isométriques forment le deuxième terme. Ces rectangles ont donc une aire de \(2abx\). Or, comme ils ont déjà une longueur de \(2ab\), leur largeur sera de \(b\).

ce qui nous laisse avec un dernier carré d’aire \(b^{2}\).

Or, dans\[4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\] le dernier terme n’est pas \(b^2\). Le dernier terme est plutôt \(4ac\). Nous retrancherons donc \(4ac\) de chaque côté et nous ajouterons \(b^{2}\) de chaque côté (afin d’avoir un trinôme carré parfait à gauche). On obtient \[4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac\]puis\[4a^{2}x^{2}+4abc+b^{2}=b^{2}-4ac\]Le membre de gauche se factorise (c’est le carré) \[\left(2ax+b\right)^{2}=b^{2}-4ac\]Et là on obtient, en extrayant la racine carrée de chaque côté (attention aux signes) \[2ax+b=\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\]puis en soustrayant \(b\) de chaque côté \[2ax=-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\]et puis en divisant par \(2a\) de chaque côté \[x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]La formule quadratique, pas de chichi.