Si le triangle possède des mesures d’angles entières exprimées en degrés et des mesures de côtés entières, alors le triangle est équilatéral. Autrement, si le triangle n’est pas équilatéral, des mesures de côtés ou d’angles doivent être irrationnelles. Sans trop entrer dans les détails, à titre d’exemple, si les mesures des côtés sont entières (ou même rationnelles), la loi des cosinus \[c^2 = a^2 + b^2-2ab\cos(C)\]implique que les valeurs des cosinus des angles seront rationnelles. Les seules valeurs rationnelles du cosinus sont \(0\), \(\pm 1\), \(\pm\frac{1}{2}\) (Théorème de Niven). Il est ensuite possible de déduire que seule la valeur de \(\frac{1}{2}\) est acceptable, c’est-à-dire un angle de \(60^{\circ}\).
Close enough is good enough
Cependant, il existe des triangles avec des mesures de côtés ou d’angles (arbitrairement) proches de mesures entières. Pour enseigner la trigonométrie, ça peut être pratique d’avoir sous la main de tels triangles. Ainsi, l’objectif de ce billet n’est rien d’autre que de déposer les résultats d’un script en Python très mal écrit (par moi-même) qui cherche (et trouve, c’est déjà ça) de tels triangles, pour utilisation ultérieure. Bref, si ça peut dépanner quelqu’un…
Ici on trouve des triangles non-isocèles qui ont des mesures de côtés entières et des mesures d’angles en degrés presqu’entières. Sauf erreur, il ne devrait pas y avoir de triangles semblables dans la liste. La majorité des triangles sont des triangles obtusangles, dont certains avec deux (très) petits angles aigus. On y trouve quelques triangles presque rectangles et acutangles.
| \[a = \] | \[b = \] | \[c = \] | \[m\angle A \approx\] | \[m\angle B \approx \] | \[m\angle C \approx \] |
|---|---|---|---|---|---|
| \[81\] | \[271\] | \[276\] | \[17^{\circ}\] | \[78^{\circ}\] | \[85^{\circ}\] |
| \[84\] | \[382\] | \[401\] | \[12^{\circ}\] | \[71^{\circ}\] | \[97^{\circ}\] |
| \[105\] | \[296\] | \[364\] | \[14^{\circ}\] | \[43^{\circ}\] | \[123^{\circ}\] |
| \[114\] | \[277\] | \[361\] | \[14^{\circ}\] | \[36^{\circ}\] | \[130^{\circ}\] |
| \[120\] | \[416\] | \[469\] | \[14^{\circ}\] | \[57^{\circ}\] | \[109^{\circ}\] |
| \[129\] | \[272\] | \[382\] | \[12^{\circ}\] | \[26^{\circ}\] | \[142^{\circ}\] |
| \[132\] | \[301\] | \[337\] | \[23^{\circ}\] | \[63^{\circ}\] | \[94^{\circ}\] |
| \[132\] | \[327\] | \[433\] | \[12^{\circ}\] | \[31^{\circ}\] | \[137^{\circ}\] |
| \[141\] | \[265\] | \[389\] | \[12^{\circ}\] | \[23^{\circ}\] | \[145^{\circ}\] |
| \[141\] | \[389\] | \[496\] | \[12^{\circ}\] | \[35^{\circ}\] | \[133^{\circ}\] |
| \[142\] | \[443\] | \[523\] | \[14^{\circ}\] | \[49^{\circ}\] | \[117^{\circ}\] |
| \[161\] | \[334\] | \[411\] | \[22^{\circ}\] | \[51^{\circ}\] | \[107^{\circ}\] |
| \[181\] | \[398\] | \[483\] | \[21^{\circ}\] | \[52^{\circ}\] | \[107^{\circ}\] |
| \[193\] | \[242\] | \[383\] | \[25^{\circ}\] | \[32^{\circ}\] | \[123^{\circ}\] |
| \[195\] | \[309\] | \[418\] | \[26^{\circ}\] | \[44^{\circ}\] | \[110^{\circ}\] |
| \[203\] | \[483\] | \[655\] | \[11^{\circ}\] | \[27^{\circ}\] | \[142^{\circ}\] |
| \[209\] | \[362\] | \[418\] | \[30^{\circ}\] | \[60^{\circ}\] | \[90^{\circ}\] |
| \[217\] | \[322\] | \[342\] | \[38^{\circ}\] | \[66^{\circ}\] | \[76^{\circ}\] |
| \[235\] | \[479\] | \[569\] | \[24^{\circ}\] | \[56^{\circ}\] | \[100^{\circ}\] |
| \[253\] | \[404\] | \[653\] | \[5^{\circ}\] | \[8^{\circ}\] | \[167^{\circ}\] |
| \[253\] | \[421\] | \[460\] | \[33^{\circ}\] | \[65^{\circ}\] | \[82^{\circ}\] |
| \[258\] | \[437\] | \[654\] | \[15^{\circ}\] | \[26^{\circ}\] | \[139^{\circ}\] |
| \[266\] | \[353\] | \[442\] | \[37^{\circ}\] | \[53^{\circ}\] | \[90^{\circ}\] |
| \[272\] | \[448\] | \[673\] | \[16^{\circ}\] | \[27^{\circ}\] | \[137^{\circ}\] |
| \[274\] | \[466\] | \[471\] | \[34^{\circ}\] | \[72^{\circ}\] | \[74^{\circ}\] |
| \[278\] | \[461\] | \[684\] | \[17^{\circ}\] | \[29^{\circ}\] | \[134^{\circ}\] |
| \[281\] | \[379\] | \[527\] | \[31^{\circ}\] | \[44^{\circ}\] | \[105^{\circ}\] |
| \[281\] | \[414\] | \[427\] | \[39^{\circ}\] | \[68^{\circ}\] | \[73^{\circ}\] |
| \[289\] | \[337\] | \[622\] | \[6^{\circ}\] | \[7^{\circ}\] | \[167^{\circ}\] |
| \[297\] | \[317\] | \[419\] | \[45^{\circ}\] | \[49^{\circ}\] | \[86^{\circ}\] |
| \[298\] | \[487\] | \[562\] | \[32^{\circ}\] | \[60^{\circ}\] | \[88^{\circ}\] |
| \[317\] | \[330\] | \[394\] | \[51^{\circ}\] | \[54^{\circ}\] | \[75^{\circ}\] |
| \[332\] | \[467\] | \[534\] | \[38^{\circ}\] | \[60^{\circ}\] | \[82^{\circ}\] |
| \[347\] | \[481\] | \[526\] | \[40^{\circ}\] | \[63^{\circ}\] | \[77^{\circ}\] |
| \[377\] | \[413\] | \[519\] | \[46^{\circ}\] | \[52^{\circ}\] | \[82^{\circ}\] |
| \[385\] | \[390\] | \[461\] | \[53^{\circ}\] | \[54^{\circ}\] | \[73^{\circ}\] |
| \[392\] | \[446\] | \[609\] | \[40^{\circ}\] | \[47^{\circ}\] | \[93^{\circ}\] |
| \[393\] | \[406\] | \[545\] | \[46^{\circ}\] | \[48^{\circ}\] | \[86^{\circ}\] |
| \[419\] | \[440\] | \[493\] | \[53^{\circ}\] | \[57^{\circ}\] | \[70^{\circ}\] |
| \[449\] | \[465\] | \[818\] | \[26^{\circ}\] | \[27^{\circ}\] | \[127^{\circ}\] |
| \[462\] | \[479\] | \[677\] | \[43^{\circ}\] | \[45^{\circ}\] | \[92^{\circ}\] |
| \[463\] | \[499\] | \[872\] | \[24^{\circ}\] | \[26^{\circ}\] | \[130^{\circ}\] |
| \[464\] | \[485\] | \[883\] | \[21^{\circ}\] | \[22^{\circ}\] | \[137^{\circ}\] |
Alors qu’ici on trouve des triangles non-isocèles qui ont des mesures d’angles entières, la mesure d’un côté entière et les mesures des deux autres côtés presqu’entières. Sauf erreur, il ne devrait pas y avoir de triangles semblables. La recherche par mesures d’angles entières m’a semblée moins fructueuse, mais c’est peut-être une fausse impression. Il me semble y avoir une représentation encore plus marquées des triangles obtusangles avec deux petits angles aigus.
\[a \approx \] \[b \approx \] \[c = \] \[m\angle A = \] \[m \angle B = \] \[m \angle C = \]
\[6\] \[107\] \[109\] \[3^{\circ}\] \[69^{\circ}\] \[108^{\circ}\]
\[47\] \[117\] \[163\] \[4^{\circ}\] \[10^{\circ}\] \[166^{\circ}\]
\[17\] \[202\] \[192\] \[4^{\circ}\] \[124^{\circ}\] \[52^{\circ}\]
\[21\] \[52\] \[72\] \[6^{\circ}\] \[15^{\circ}\] \[159^{\circ}\]
\[20\] \[107\] \[123\] \[6^{\circ}\] \[34^{\circ}\] \[140^{\circ}\]
\[25\] \[205\] \[191\] \[6^{\circ}\] \[121^{\circ}\] \[53^{\circ}\]
\[32\] \[203\] \[186\] \[8^{\circ}\] \[118^{\circ}\] \[54^{\circ}\]
\[129\] \[271\] \[145\] \[8^{\circ}\] \[163^{\circ}\] \[9^{\circ}\]
\[44\] \[57\] \[99\] \[10^{\circ}\] \[13^{\circ}\] \[157^{\circ}\]
\[44\] \[99\] \[138\] \[10^{\circ}\] \[23^{\circ}\] \[147^{\circ}\]
\[41\] \[164\] \[191\] \[10^{\circ}\] \[44^{\circ}\] \[126^{\circ}\]
\[53\] \[129\] \[79\] \[10^{\circ}\] \[155^{\circ}\] \[15^{\circ}\]
\[7\] \[34\] \[36\] \[11^{\circ}\] \[68^{\circ}\] \[101^{\circ}\]
\[503\] \[593\] \[92\] \[11^{\circ}\] \[167^{\circ}\] \[2^{\circ}\]
\[61\] \[66\] \[124\] \[12^{\circ}\] \[13^{\circ}\] \[155^{\circ}\]
\[49\] \[61\] \[107\] \[12^{\circ}\] \[15^{\circ}\] \[153^{\circ}\]
\[42\] \[157\] \[180\] \[12^{\circ}\] \[51^{\circ}\] \[117^{\circ}\]
\[55\] \[214\] \[177\] \[12^{\circ}\] \[126^{\circ}\] \[42^{\circ}\]
\[31\] \[81\] \[104\] \[13^{\circ}\] \[36^{\circ}\] \[131^{\circ}\]
\[10\] \[26\] \[33\] \[14^{\circ}\] \[39^{\circ}\] \[127^{\circ}\]
\[38\] \[146\] \[145\] \[15^{\circ}\] \[84^{\circ}\] \[81^{\circ}\]
\[91\] \[143\] \[55\] \[15^{\circ}\] \[156^{\circ}\] \[9^{\circ}\]
\[6\] \[9\] \[14\] \[17^{\circ}\] \[26^{\circ}\] \[137^{\circ}\]
\[92\] \[210\] \[137\] \[19^{\circ}\] \[132^{\circ}\] \[29^{\circ}\]
\[59\] \[139\] \[151\] \[23^{\circ}\] \[67^{\circ}\] \[90^{\circ}\]
\[50\] \[127\] \[123\] \[23^{\circ}\] \[83^{\circ}\] \[74^{\circ}\]
\[81\] \[122\] \[165\] \[28^{\circ}\] \[45^{\circ}\] \[107^{\circ}\]
\[199\] \[310\] \[138\] \[28^{\circ}\] \[133^{\circ}\] \[19^{\circ}\]
\[7\] \[12\] \[14\] \[30^{\circ}\] \[59^{\circ}\] \[91^{\circ}\]
\[4\] \[7\] \[8\] \[30^{\circ}\] \[61^{\circ}\] \[89^{\circ}\]
\[82\] \[132\] \[159\] \[31^{\circ}\] \[56^{\circ}\] \[93^{\circ}\]
\[242\] \[383\] \[193\] \[32^{\circ}\] \[123^{\circ}\] \[25^{\circ}\]
\[47\] \[68\] \[84\] \[34^{\circ}\] \[54^{\circ}\] \[92^{\circ}\]
\[115\] \[149\] \[199\] \[35^{\circ}\] \[48^{\circ}\] \[97^{\circ}\]
\[33\] \[43\] \[56\] \[36^{\circ}\] \[50^{\circ}\] \[94^{\circ}\]
\[77\] \[114\] \[126\] \[37^{\circ}\] \[63^{\circ}\] \[80^{\circ}\]
\[296\] \[364\] \[105\] \[43^{\circ}\] \[123^{\circ}\] \[14^{\circ}\]
\[309\] \[418\] \[195\] \[44^{\circ}\] \[110^{\circ}\] \[26^{\circ}\]
\[22\] \[31\] \[20\] \[45^{\circ}\] \[95^{\circ}\] \[40^{\circ}\]
\[1269\] \[1325\] \[88\] \[49^{\circ}\] \[128^{\circ}\] \[3^{\circ}\]
\[235\] \[303\] \[158\] \[50^{\circ}\] \[99^{\circ}\] \[31^{\circ}\]
\[950\] \[1063\] \[194\] \[50^{\circ}\] \[121^{\circ}\] \[9^{\circ}\]
\[398\] \[483\] \[181\] \[52^{\circ}\] \[107^{\circ}\] \[21^{\circ}\]
\[288\] \[316\] \[55\] \[55^{\circ}\] \[116^{\circ}\] \[9^{\circ}\]
\[223\] \[261\] \[92\] \[56^{\circ}\] \[104^{\circ}\] \[20^{\circ}\]
\[416\] \[469\] \[120\] \[57^{\circ}\] \[109^{\circ}\] \[14^{\circ}\]
\[122\] \[129\] \[118\] \[59^{\circ}\] \[65^{\circ}\] \[56^{\circ}\]
\[265\] \[306\] \[153\] \[60^{\circ}\] \[90^{\circ}\] \[30^{\circ}\]
\[327\] \[356\] \[77\] \[62^{\circ}\] \[106^{\circ}\] \[12^{\circ}\]
\[891\] \[920\] \[145\] \[74^{\circ}\] \[97^{\circ}\] \[9^{\circ}\]
\[1716\] \[1731\] \[62\] \[75^{\circ}\] \[103^{\circ}\] \[2^{\circ}\]
\[128\] \[129\] \[38\] \[80^{\circ}\] \[83^{\circ}\] \[17^{\circ}\]
\[2172\] \[2188\] \[153\] \[82^{\circ}\] \[94^{\circ}\] \[4^{\circ}\]
\[503\] \[504\] \[114\] \[83^{\circ}\] \[84^{\circ}\] \[13^{\circ}\]
\[593\] \[596\] \[114\] \[83^{\circ}\] \[86^{\circ}\] \[11^{\circ}\]
\[408\] \[409\] \[57\] \[85^{\circ}\] \[87^{\circ}\] \[8^{\circ}\]