On considère la fraction continue simple la plus (c’est bien le cas de le dire) simple qui soit et on appelle cette fraction continue φ.
En soustrayant 1 de chaque côté, on obtient
Puis en inversant
ce qui n’est rien d’autre que
La fraction continue du départ est donc égale au nombre d’or, la solution positive de l’équation
Nous connaissons cette valeur grâce à la formule quadratique. C’est
et d’où l’on tire
Ceci étant dit, lorsqu’on calcule les réduites de la fraction continue simple, on obtient
On obtient les rapports successifs des termes consécutifs de la suite de Fibonacci ! Ces rapports tendent donc vers le nombre d’or ! On écriera donc
Nous reviendrons à ce résultat exceptionnel plus tard. Il existe une formule qui nous permet d’exprimer directement le nième terme de la suite de Fibonacci. Cette formule est la suivante
Il n’est pas surprenant d’y retrouver le nombre d’or. Les techniques pour trouver cette formule directement étant un peu avancées, nous nous contenterons d’en fournir la preuve par induction. Commençons d’abord par vérifier qu’elle soit vraie pour les premières valeurs de n. En se rappelant que
on peut trouver que
La formule fonctionne donc pour les premières valeurs de n. Supposons alors qu’elle soit vraie pour tout entier k tel que
C’est notre hypothèse d’induction. Montrons qu’elle sera aussi vraie pour n + 1. On sait que
et comme la formule est valide, par hypothèse, pour tout entier k jusqu’à n (cela inclut, au passage, n – 1 et, incidemment, nous avions vérifié deux termes au départ, et non pas un seul), on peut réécrire
Un mise en évidence fait
puis en réarrangeant les termesUne double mise en évidence nous permet d’écrire
Or, comme
puisque
et
puisque
il nous suffit de remplacer
afin d’obtenir
Voilà ! Par le principe d’induction, nous avons prouvé la formule. C’est le mathématicien écossais Robert Simson qui remarqua que
Après une première simplification
on effectue deux mises en évidence : l’une au numérateur et l’autre au dénominateurce qui fait
Or il est facile de voir que si
alors
et cela implique que
et évidemment aussi que
On obtient donc
ce qui fait tout simplement
Je vous envoie un tournesol pour ce billet qui me rappelle tant de beautés et de bons souvenirs.
Merci !