De fil en aiguille

On considère la fraction continue simple la plus (c’est bien le cas de le dire) simple qui soit et on appelle cette fraction continue φ.

En soustrayant 1 de chaque côté, on obtientPuis en inversantce qui n’est rien d’autre que

La fraction continue du départ est donc égale au nombre d’or, la solution positive de l’équation

Nous connaissons cette valeur grâce à la formule quadratique.  C’est

et d’où l’on tire

Ceci étant dit, lorsqu’on calcule les réduites de la fraction continue simple, on obtient

…

On obtient les rapports successifs des termes consécutifs de la suite de Fibonacci !  Ces rapports tendent donc vers le nombre d’or !  On écriera donc

Nous reviendrons à ce résultat exceptionnel plus tard.  Il existe une formule qui nous permet d’exprimer directement le n^ième terme de la suite de Fibonacci.  Cette formule est la suivante

Il n’est pas surprenant d’y retrouver le nombre d’or.  Les techniques pour trouver cette formule directement étant un peu avancées, nous nous contenterons d’en fournir la preuve par induction.  Commençons d’abord par vérifier qu’elle soit vraie pour les premières valeurs de n. En se rappelant que

on peut trouver que

La formule fonctionne donc pour les premières valeurs de n.  Supposons alors qu’elle soit vraie pour tout entier k tel que

C’est notre hypothèse d’induction.  Montrons qu’elle sera aussi vraie pour n + 1.  On sait que

et comme la formule est valide, par hypothèse, pour tout entier k jusqu’à n (cela inclut, au passage, n – 1 et, incidemment, nous avions vérifié deux termes au départ, et non pas un seul), on peut réécrire

Un mise en évidence fait

puis en réarrangeant les termesUne double mise en évidence nous permet d’écrireOr, commepuisqueetpuisque

il nous suffit de remplacerafin d’obtenir

Voilà !  Par le principe d’induction, nous avons prouvé la formule.  C’est le mathématicien écossais Robert Simson qui remarqua que

Après une première simplification

on effectue deux mises en évidence : l’une au numérateur et l’autre au dénominateurce qui faitOr il est facile de voir que si

alors

et cela implique que

et évidemment aussi que

On obtient donc

ce qui fait tout simplement