Exercice : on doit évaluer l’intégrale définie suivante\[\int_{0}^{1}\frac{x^{4}\,\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}\text{d}x\]On effectue la longue division afin d’obtenir, on l’espère, des termes plus faciles à intégrer. Cette dernière me donne
La longue division polynomiale avec crochet
et on a donc\[\int_{0}^{1}\frac{x^{4}\,\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}\text{d}x=\int_{0}^{1}x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-4\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)\text{d}x\]En évaluant cette intégrale terme à terme, on obtient\begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{x^{4}\,\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}\text{d}x &=\int_{0}^{1}x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-4\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)\text{d}x \\ \\ &=\left[\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{6}+\frac{5x^{5}}{6}-\frac{4x^{3}}{3}+4x-4\arctan\left(x\right)\right]_{0}^{1} \\ \\ &=\left[\frac{x^{7}}{7}-\frac{2x^{6}}{3}+x^{5}-\frac{4x^{3}}{3}+4x-4\arctan\left(x\right)\right]_{0}^{1}\end{align*}Comme on a en plus \[\arctan\left(0\right) = 0\]et\[\arctan\left(1\right) = \frac{\pi}{4}\]on obtient \begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{x^{4}\,\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}\text{d}x &=\left[\frac{x^{7}}{7}-\frac{2x^{6}}{3}+x^{5}-\frac{4x^{3}}{3}+4x-4\arctan\left(x\right)\right]_{0}^{1} \\ \\ &=\frac{1^{7}}{7}-\frac{2\cdot 1^{6}}{3}+1^{5}-\frac{4\cdot 1^{3}}{3}+4\cdot 1 – 4\arctan\left(1\right) \\ \\ &=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-4\frac{\pi}{4} \\ \\ &=\frac{22}{7}-\pi\end{align*}un résultat particulièrement attrayant.
Comme l’intégrande est positif (il s’agit d’un quotient dans lequel le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs), et qu’en inspectant les bornes, \(0<1\), l’intégrale sera positive. Cela nous montre de manière élégante, mais peu économique, que \(\frac{22}{7}\) est plus grand que \(\pi\).
Référence : Julian Havil (2009), Gamma : Exploring Euler’s Constant