La formule quadratique (encore…)

La preuve de la formule quadratique n’est jamais facile à faire ni à comprendre pour les élèves de quatrième secondaire. Elle tombe d’ailleurs généralement assez rapidement dans l’oubli (la preuve, pas la formule).  J’ai donné plus tôt ces deux démonstrations.  Dans la première, classique, on met \(a\) en évidence et on complète le carré.  Dans la deuxième, on utilise un changement de variable pour faire disparaître le terme du premier degré. En voici une troisième particulièrement élégante.  On complète ici aussi le carré.

On a \[ax^2 + bx + c = 0\]Afin d’obtenir un carré parfait, on voudrait que le premier terme soit un carré.  \(x\) est déjà au carré alors on multipliera chaque terme par \(a\) afin d’obtenir \[a^{2}x^{2}+abx + ac = 0\]On voudrait ensuite que le coefficient du deuxième terme soit pair pour ne pas s’empêtrer inutilement de fractions.  On pourrait donc multiplier chaque terme par \(2\).  Sauf qu’en multipliant par \(2\), le premier terme ne serait plus un carré.  On décide donc de multiplier chaque terme par le plus petit carré pair, c’est-à-dire par \(4\).  On obtient \[4a^{2}x^{2}+4abx + 4ac = 0\]Si l’expression de gauche est un carré, alors le premier terme est un carré de côté \(2ax\) tel que représenté dans l’illustration suivante

Les deux rectangles isométriques forment le deuxième terme.  Ces rectangles ont donc une aire de \(2abx\).  Or, comme ils ont déjà une longueur de \(2ab\), leur largeur sera de \(b\).

ce qui nous laisse avec un dernier carré d’aire \(b^{2}\).

Or, dans\[4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\] le dernier terme n’est pas \(b^2\).  Le dernier terme est plutôt \(4ac\).  Nous retrancherons donc \(4ac\) de chaque côté et nous ajouterons \(b^{2}\) de chaque côté (afin d’avoir un trinôme carré parfait à gauche).  On obtient \[4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac\]puis\[4a^{2}x^{2}+4abc+b^{2}=b^{2}-4ac\]Le membre de gauche se factorise (c’est le carré) \[\left(2ax+b\right)^{2}=b^{2}-4ac\]Et là on obtient, en extrayant la racine carrée de chaque côté (attention aux signes) \[2ax+b=\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\]puis en soustrayant \(b\) de chaque côté \[2ax=-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\]et puis en divisant par \(2a\) de chaque côté \[x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]La formule quadratique, pas de chichi.

11 thoughts on “La formule quadratique (encore…)

  1. Très intéressant vos articles.
    Je suis enseignant en 4e secondaire.
    Auriez-vous une belle démonstration pour la formule de la distance entre un point et un droite?

    Merci! Beau travail.

    Frank

  2. Effectivement, c’est très élégant. Ca parait tellement simple vu comme ça…

  3. Je suis bloqué avec la résolution de l’équation de second degré liée au nombre d’or, soit x² – x -1 = 0
    Est-ce la même forme que ax² + bx + c = 0 ?
    Quelles sont les valeurs de a, b et c, SVP?

  4. Bonjour Daniel,

    oui, c’est la bonne formule. Ici \(a =1\), \(b = -1\) et \(c=-1\) aussi. On obtient donc
    \begin{align*} x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \\ &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \\ \\ &= \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{align*}

    Le nombre d’or est la solution positive \(x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,\!618034\).

  5. Merci beaucoup! Ce problème-là est résolu. Super!

    D’autre part, savez-vous s’il est possible de trouver la valeur du nombre d’or sans passer par une équation de second degré, ni tracer un arc de cercle comme on le voit en démonstration sur certaines pages? … sans faire de calculs trigonométriques ou autres calculs complexes… simplement comme si c’était de la géométrie? C’est peut-être pas faisable… je suis seulement curieux et je cherche sans rien trouver.

    C’est pas pour exposer une colle. C’est une simple recherche.

  6. J’ai cherché une solution sans équation de second degré.

    Calcul de la proportion nommée nombre d’or:
    • supposons un carré de côtés 1
    • divisons ce carré en deux rectangles égaux
    • traçons une diagonale dans un des deux rectangles
    • nommons les trois côtés d’un des deux rectangles par : a, b et c
    • le plus petit côté est a, le second est b et la diagonale (hypoténuse) est c
    • selon le théorème de Pythagore : a² + b² = c²
    • nous connaissons les valeurs de a et b, soit 0.5 et 1
    • 0.5² + 1² = 0.25 + 1 = 1.25 soit c², le carré de l’hypoténuse
    • la racine carrée de 1.25 = 1,11803398874989
    • l’intérêt de cette valeur est de l’additionner avec la valeur du côté a
    • a + racine carrée de 1.25 =
    • 0.5 + 1,11803398874989 = 1,61803398874989
    • si A = 1,61803398874989, B = 1 et C = A – B = 0,618
    • et A /B = B / C
    • 1,61803398874989 / 1 = 1 / 0,61803398874989
    • ici A = Φ

  7. Bonjour Daniel,

    je ne crois pas que cela soit possible. Vous avez résolu une équation du deuxième degré lorsque vous avez eu recours à la relation de Pythagore. La relation était plus simple car vous calculez d’abord \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), ou si vous préférez \(\sqrt{1,\!25}\) et ajoutez \(\dfrac{1}{2}\) ensuite, au lieu de calculer directement \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), cas pour lequel on a besoin de la formule ou de la complétion du carré.

    Le polynôme de degré minimal de \(\phi\) est du deuxième degré alors je ne pense pas qu’on s’en tire.

  8. Merci.

    Je ne conteste pas ce que vous dites. Je ne suis pas mathématicien. Je dis seulement que j’ai d’abord cherché à éviter l’équation de second degré. Je cherchais une solution géométrique et je crois que ma démonstration a une valeur géométrique. Sinon indiquez-moi svp où serait l’erreur.

    0.5 et la racine carrée de 1.25 sont des valeurs (pas des mesures) que l’on retrouve sur le triangle abc de ma démonstration. J’obtiens simplement Φ par une addition de deux valeurs.

  9. Bonjour,

    Peut-être qu’on n’a simplement pas la même définition d’une notion ou d’une autre …

    Si vous voulez représenter le nombre d’or géométriquement, directement et sans addition, une façon simple est de tracer un pentagone régulier.

    Le rapport entre les mesures des diagonales et des côtés est de \(\varphi\). Si les côtés mesurent \(1\), alors les diagonales mesurent \(\varphi\).

    Au plaisir !

  10. Merci! C’est très intéressant.
    Je ne suis pas bien au fait des notions et définitions mathématiques. Celles que j’ai appris ont beaucoup vieillies. Je ne suis plus tout jeune. Toutefois, je trouve cela passionnant.
    Merci encore et bravo de partager vos habiletés et connaissances.

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