C’est en quatrième secondaire qu’on apprend la célèbre formule quadratique (aussi appelée par certains gens “la grosse Bertha”). On peut faire la preuve de cette formule avec une élégante technique qu’on appelle la complétion de carré. C’est cette technique qui est décrite par le mathématicien arabe Al-Khawarizmi dans son plus fameux livre écrit en 825 et intitulé kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābalah (abrégé du calcul par la restauration et la comparaison). Notez que le terme al-jabr du titre nous donna plus tard le mot algèbre.
On a donc
On divise chaque terme par a
et on complète le carré : c’est à dire rajouter une quantité qui fera en sorte que les trois premiers termes constituerons un trinôme carré parfait. Évidemment, il faut aussi retrancher immédiatement cette quantité afin de ne pas changer la valeur du polynôme. Quelle est cette quantité ? Les Anciens se devaient de prouver tout résultat en Algèbre par la Géométrie… Les deux premiers termes, étant ceux qui nous intéressent, sont représentés dans l’illustration suivante En réarrangeant le rectangle vert on obtient
On se rend compte qu’il nous sera possible de compléter le carré faut en ajoutant
tel qu’illustré dans le diagramme suivant
Enfin bref, on se retrouve donc avecce qui fait
Il est possible de factoriser le trinôme carré parfait
On isole ensuite le carré
On met ensuite les termes de droite sur dénominateur commun
ce qui nous permet d’écrire
Il suffit maintenant d’extraire la racine carrée de chaque côté
Et là une propriétés des racines nous permet d’écrire ceci
afin de simplifier comme cela
Il suffit enfin d’isoler x
ce qui fait
Le but de ce distrayant billet est de présenter une deuxième technique : le changement de variable. On sait que si notre équation ne comporte qu’un terme au carré, par exemple
on n’a qu’à extraire la racine carrée des deux côtés afin d’obtenir
soit les solutions de l’équation. C’est en quelque sorte une situation idéale. C’est donc le terme du premier degré qui cause problème. Il est possible d’éliminer ce terme avec un changement de variable. Nous avons donc à nouveau
On divise ensuite chaque terme par a
Et là on effectue le changement de variable suivant
ce qui fait
En développant on obtient
puis en regroupant les termes semblables
La mise en évidence de y donne
L’objectif du changement de variable est d’éliminer le terme en y. PosonsIl suffit d’isoler α
puis
C’est cette valeur qui fera disparaître le terme du premier degré dans l’équation précédente. Remplaçons
En multipliant les parenthèses on obtient
puis en simplifiant un peu
On obtient ce qui était attendu
En mettant sur dénominateur commun
on obtient
Puis en isolant y2
et en extrayant la racine carrée de chaque côté de l’égalité
Un propriété des racines nous permet d’écrire
puis de simplifier
Or, on avait posé
avecEn remplaçant on obtient
et donc
Il suffit maintenant de substituer y dans
ce qui donne
et donc
Or comme les deux termes sont déjà sur dénominateur commun, on obtient finalement
La méthode semble fastidieuse dans ce contexte relativement simple. Mais c’est cette méthode qui est utilisée dans la résolution d’un polynôme du troisième degré. Il est donc primordial d’en avoir pleine compréhension avant de se lancer dans l’entreprise éminemment plus complexe qu’est la résolution d’un polynôme du troisième degré.
Bonjour, pourquoi avons nous choisi de changer x pour y-alpha et non par exemple pas y+alpha ou encore y-2alpha?
Salut Nicolas,
je ne m’étais pas posé la question. J’ai fait “comme d’habitude”. Les autres choix font aussi bien l’affaire. De toute manière, on “défait” notre changement de variable à la fin, donc ça revient au même.
Pourquoi pas y – 2alpha ? Pourquoi ajouter un facteur 2 arbitraire ?
Pourquoi pas y + alpha ? J’imagine que cela nous obligerait à exprimer alpha avec un signe négatif. Ce n’est pas un gros problème en soi, mais comme la démarche fonctionne pour des équations de degrés supérieurs, cela nous obligerait à exprimer tous les “alpha” avec un signe négatif. Pour réduire une équation du deuxième degré, on pose x = y – b/(2a), pour réduire une équation du troisième degré, on pose x = y – b/(3a), pour réduire une équation du quatrième degré, on pose x = y – b/(4a), etc.
J’imagine qu’écrire x = y – b/(3a) est légèrement plus joli qu’écrire x = y + (-b)/(3a) ?