La résolution d’un polynôme du deuxième degré

C’est en quatrième secondaire qu’on apprend la célèbre formule quadratique (aussi appelée par certains gens “la grosse Bertha”).  On peut faire la preuve de cette formule avec une élégante technique qu’on appelle la complétion de carré.  C’est cette technique qui est décrite par le mathématicien arabe Al-Khawarizmi dans son plus fameux livre écrit en 825 et intitulé kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābalah (abrégé du calcul par la restauration et la comparaison).  Notez que le terme al-jabr du titre nous donna plus tard le mot algèbre.

On a donc

On divise chaque terme par a

et on complète le carré  : c’est à dire rajouter une quantité qui fera en sorte que les trois premiers termes constituerons un trinôme carré parfait.  Évidemment, il faut aussi retrancher immédiatement cette quantité afin de ne pas changer la valeur du polynôme.  Quelle est cette quantité ?  Les Anciens se devaient de prouver tout résultat en Algèbre par la Géométrie…  Les deux premiers termes, étant ceux qui nous intéressent, sont représentés dans l’illustration suivante En réarrangeant le rectangle vert on obtient

On se rend compte qu’il nous sera possible de compléter le carré faut en ajoutant

tel qu’illustré dans le diagramme suivant

Enfin bref, on se retrouve donc avecce qui fait

Il est possible de factoriser le trinôme carré parfait

On isole ensuite le carré

On met ensuite les termes de droite sur dénominateur commun

ce qui nous permet d’écrire

Il suffit maintenant d’extraire la racine carrée de chaque côté

Et là une propriétés des racines nous permet d’écrire ceci

afin de simplifier comme cela

Il suffit enfin d’isoler x

ce qui fait

Le but de ce distrayant billet est de présenter une deuxième technique : le changement de variable.  On sait que si notre équation ne comporte qu’un terme au carré, par exemple

on n’a qu’à extraire la racine carrée des deux côtés afin d’obtenir

soit les solutions de l’équation.  C’est en quelque sorte une situation idéale.  C’est donc le terme du premier degré qui cause problème.  Il est possible d’éliminer ce terme avec un changement de variable.  Nous avons donc à nouveau

On divise ensuite chaque terme par a

Et là on effectue le changement de variable suivant

ce qui fait

En développant on obtient

puis en regroupant les termes semblables

La mise en évidence de y donne

L’objectif du changement de variable est d’éliminer le terme en y.  PosonsIl suffit d’isoler αpuis

C’est cette valeur qui fera disparaître le terme du premier degré dans l’équation précédente.  Remplaçons

En multipliant les parenthèses on obtient

puis en simplifiant un peu

On obtient ce qui était attendu

En mettant sur dénominateur commun

on obtient

Puis en isolant y²

et en extrayant la racine carrée de chaque côté de l’égalité

Un propriété des racines nous permet d’écrire

puis de simplifier

Or, on avait posé

avecEn remplaçant on obtientet doncIl suffit maintenant de substituer y dans

ce qui donneet donc

Or comme les deux termes sont déjà sur dénominateur commun, on obtient finalement

La méthode semble fastidieuse dans ce contexte relativement simple.  Mais c’est cette méthode qui est utilisée dans la résolution d’un polynôme du troisième degré.  Il est donc primordial d’en avoir pleine compréhension avant de se lancer dans l’entreprise éminemment plus complexe qu’est la résolution d’un polynôme du troisième degré.