Le théorème de Viviani (étendu)

Déplacez le point vert et ensuite le point noir.

Le théorème de Viviani est un classique de la géométrie euclidienne fréquemment rencontré. Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur au triangle aux trois côtés du triangle est constante. Qui plus est, cette somme des distances correspond à la hauteur du triangle équilatéral.

Considérons un triangle équilatéral de côté \(c\) et de hauteur \(h\). Supposons que les distances du point intérieur au triangle aux côtés du triangle sont \(h_{1}\), \(h_{2}\) et \(h_{3}\). Il suffit de remarquer que ces distances sont des hauteurs de plus petits triangles, et que la somme des aires de ces petits triangles est égale à l’aire du grand triangle équilatéral.

 

Puisque l’aire du triangle équilatéral est \(\frac{c\cdot h}{2}\), on obtient \[\frac{c\cdot h}{2} = \frac{c\cdot h_{1}}{2}+\frac{c\cdot h_{2}}{2}+\frac{c\cdot h_{3}}{2}\]Il suffit ensuite de mettre en évidence \(\frac{c}{2}\) et simplifier. \begin{align*}\frac{c}{2}\cdot h &= \frac{c}{2}\left(h_{1}+h_{2}+h_{3}\right)\\ \\ h &= h_{1}+h_{2}+h_{3}\end{align*}

Déplacez le point en restant à l’intérieur du triangle équilatéral

Dans les polygones réguliers

Je crois qu’il ne m’était jamais arrivé de tomber sur la version « étendue » du théorème avant il y a peu de temps. Une fois la surprise passée, il apparaît « évident » qu’on peut étendre le théorème aux polygones réguliers. Il suffit de considérer la somme des distances d’un point \(P\) à l’intérieur d’un polygone régulier aux côtés du polygone ou ses prolongements.

On considère un polygone régulier à \(n\) côtés. La mesure des côtés est \(c\) et l’apothème (le rayon du cercle inscrit) est \(a\). Son aire est \(\frac{n\cdot c \cdot a}{2}\). On relie le point \(P\) à l’intérieur du polygone aux sommets du polygone pour former \(n\) triangles. Bien sûr, l’aire du polygone régulier est aussi égale à la somme des aires des triangles qui le composent. Si les hauteurs des triangles sont \(h_{1}\), \(h_{2}\), \(h_{3}\), … , \(h_{n}\), on obtient \begin{align*}\frac{n\cdot c \cdot a}{2} &= \frac{c \cdot h_{1}}{2}+\frac{c\cdot h_{2}}{2} + \frac{c \cdot h_{3}}{2} + \ \dots \ + \frac{c \cdot h_{n}}{2} \\ \\ \frac{c}{2} \cdot na &= \frac{c}{2}\cdot \left(h_{1}+h_{2}+h_{3} + \ \dots \ + h_{n}\right) \\ \\ na &= h_{1}+h_{2}+h_{3} + \ \dots \ + h_{n}\end{align*}Puisque \(n\) et \(a\) sont des constantes, la somme \(h_{1}+h_{2}+h_{3}+ \ \dots \ + h_{n}\) l’est aussi ! Cela fonctionne aussi lorsque les hauteurs tombent à l’extérieur du polygone régulier.