Les triplets pythagoriciens (mise à jour)

Les triplets pythagoriciens offrent de belles situations de conjectures et de preuves à faire avec les élèves.  Et cela peut se faire avec une table de seulement quelques triplets de Pythagore.

Conjecture :

Dans \[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]il y a toujours au moins un des trois nombres, \(a\), \(b\) ou \(c\) qui est pair.

Preuve : Supposons que les trois nombres soient impairs, et exprimons-les de telle façon :

\[a = 2x + 1, \ \ b = 2y + 1, \ \ c = 2z + 1\]avec \[x, \ y, \ z \in \mathbb{Z}\]
L’équation \[a^{2}+ b^{2}=c^{2}\]devient \[(2x+1)^{2} + (2y + 1)^{2}=(2z + 1)^{2}\]En développant on obtient \[(4x^{2}+4x + 1)+(4y^{2}+4y+1) = 4z^{2}+4z+1\]Plaçons ensuite les variables à gauche et les termes constants à droite \[4x^{2}+4y^{2}+4x+4y-4z^{2}-4z=-1\]Ajoutons \(4\) de chaque côté pour obtenir \[4x^{2}+ 4y^{2}+4x+4y-4z^{2}-4z+4 = 3\]Et finalement effectuons la mise en évidence de \(4\) à gauche \[4\left(x^{2}+y^{2}+x+y-z^{2}-z+1\right) = 3\]Et là nous obtenons une contradiction puisque \(4\) n’est évidemment pas un diviseur de \(3\).

Note : on peut aussi montrer que c’est  \(a\) ou \(b\) (ou les deux) qui doit toujours être pair.

En effet, si on suppose que \(c\) est pair et que \[c = 2z\]mais que \(a\) et \(b\)  soient encore impairs et donc que \[a = 2x + 1\]et \[b = 2y+1\]toujours avec \[x, \ y, \ z \in \mathbb{Z}\]On obtient \[(2x + 1)^{2}+(2y+1)^{2}= (2z)^{2}\]et en développant \[4x^{2}+4x + 1 + 4y^{2}+4y + 1 = 4z^{2}\]En regroupant les termes semblables on obtient \[4x^{2}+4y^{2} + 4x + 4y + 2 = 4z^{2}\]On place maintenant les termes constants à droite et les autres termes à gauche \[4x^{2}+4y^{2}+4x+4y-4z^{2}=-2\]et enfin on ajoute \(4\) de chaque côté \[4x^{2}+4y^{2}+4x+4y-4z^{2}+4 = 2\]La mise en évidence simple de \(4\) à gauche \[4\left(x^{2}+y^{2}+x+y-z^{2}+1\right)=2\]nous amène à la contradiction recherchée : \(4\) n’est pas un facteur de \(2\) !  Il faut donc que, si tous les trois ne sont pas pairs, soit \(a\) ou \(b\) soit pair (et les deux autres impairs).

Conjecture :

Dans \[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]au moins un des deux nombres, \(a\) ou \(b\), est divisible par \(3\).

Preuve : Tout nombre entier peut s’exprimer comme \[3n,\] \[3n+1\]ou \[3n + 2\]avec \[n \in \mathbb{Z}\]Supposons que ni \(a\), ni \(b\) ne soient divisibles par \(3\).  À une permutation près, nous avons trois possibilités.  \(a\) et \(b\) sont de la même forme : \[a=3x+1, \ \ b=3y+1\]ou \[a = 3x + 2, \ \ b =3y+2\]ou alors \(a\) et \(b\) ne sont pas de la même forme, par exemple \[a = 3x + 1, \ \ b = 3y + 2\]avec \[x, \ y \in \mathbb{Z}\]Dans le premier cas on obtient \[(3x + 1)^{2}+(3y + 1)^{2}\]ce qui fait lorsqu’on développe \[9x^{2}+6x+1+9y^{2}+6y+1\]et donc \[9x^{2}+9y^{2}+6x+6y+2\]Tous les termes sauf le dernier sont divisibles par \(3\).  Le reste de la division de \(2\) par \(3\) est \(2\).  Dans le deuxième cas on obtient \[(3x+2)^{2}+(3y+2)^{2}\]ce qui fait lorsqu’on développe \[9x^{2}+6x+4+9y^{2}+6y+4\]et donc \[9x^{2}+9y^{2}+6x+6y+8\]Encore une fois, tous les termes sauf le dernier, \(8\), sont divisibles par \(3\).  Le reste de la division de \(8\) par \(3\) est \(2\).  Enfin, dans le troisième et dernier cas on obtient \[(3x+1)^{2}+(3y+2)^{2}\]ce qui fait lorsqu’on développe \[9x^{2}+6x+1+9y^{2}+6y+4\]et donc \[9x^{2}+9y^{2}+6x+6y+5\]Tous les termes sont divisibles par trois, sauf le dernier, \(5\).  Le reste de la division de \(5\) par \(3\) est \(2\).

C’est donc dire que si \(a\) et \(b\) ne sont pas divisibles par \(3\), le reste de la division de \[a^{2}+b^{2}\]par \(3\) sera toujours \(2\) !  C’est embêtant puisque \(c\) est soit de la forme\[3z\]ce qui fait, lorsqu’on l’élève au carré \[9z^{2}\]un nombre divisible par \(3\) (autrement dit, sans reste).  Sinon, \(c\) est de la forme \[3z+1\]ce qui fait, lorsqu’on l’élève au carré \[9z^{2}+6z+1\]Les deux premiers termes sont divisibles par \(3\), mais pas le dernier : le reste de la division de \(1\) par \(3\) est \(1\).  On a donc un reste de \(1\).   Enfin, si \(c\) est de la forme \[3z+2\]on a, lorsqu’on l’élève au carré,\[9z^{2}+6z+4\]on obtient une expression dans laquelle les deux premiers termes sont divisibles par \(3\), mais pas le dernier : le reste de la division de \(4\) par \(3\) est \(1\).  On a donc encore un reste de \(1\).

C’est donc dire que les seuls restes possibles d’une division de \(c^{2}\) par \(3\) sont \(0\) ou \(1\), ce qui est en contradiction avec le résultats précédent : que le reste de la division de  \(a^{2}+b^{2}\) par \(3\) est \(2\) !  Conclusion : au moins \(a\) ou \(b\) doit être divisible par \(3\).

Note : On peut aussi montrer de la même manière qu’au moins un des trois nombres doit être divisible par \(5\). On peut aussi montrer qu’au moins \(a\) ou \(b\) est divisible par \(4\).

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